Question transversaleMathsSESMobilité sociale

Combien de temps l'avantage de revenu d'une famille se transmet-il ?

Le modèle ln(revenu de l'enfant) = a + β·ln(revenu du parent) mesure la transmission par β : avec β = 0,4, un parent deux fois plus riche que la moyenne a un enfant environ 32 % au-dessus de la moyenne, un petit-enfant 12 % : l'écart en logarithme est multiplié par β à chaque génération.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai lu que dans certains pays, il faut plus de six générations à une famille pauvre pour atteindre le revenu moyen. Cela m'a frappé. Les économistes mesurent la transmission des revenus par une « élasticité intergénérationnelle », estimée par une régression sur les logarithmes. Je voulais comprendre ce coefficient et ce qu'il implique sur plusieurs générations.

L'enjeu et les notions du programme

Interpréter un coefficient de régression sur des logarithmes comme une élasticité, et étudier la décroissance géométrique d'un écart.

Mathématiques

Logarithme et exponentielle (terminale)
Ajustement affine, coefficient directeur (première)
Suites géométriques (première)

Sciences économiques et sociales

Mobilité sociale, transmission des inégalités (terminale)
Comparaisons internationales, « courbe de Gatsby » (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On compare le revenu des enfants à l'âge adulte et celui de leurs parents. Problématique : comment mesurer la force de la transmission, et combien de générations faut-il pour qu'elle s'efface ?
2. Mathématiques : une régression sur les logarithmes
4 min
On modélise $ln y_{enfant} = a + β ln y_{parent}$ ln y_ enfant =a+βln y_ parent, en mesurant les revenus relativement à la moyenne. $β$ β est l'élasticité intergénérationnelle : si le revenu du parent augmente de 1 %, celui de l'enfant augmente en moyenne de $β$ β %. $β = 0$ β=0 : aucune transmission ; $β = 1$ β=1 : reproduction parfaite.
Avec $β = 0, 4$ β=0,4, un parent deux fois plus riche que la moyenne ( $ln 2 \approx 0, 69$ ln2≈0,69) a un enfant dont l'écart vaut en moyenne $0, 4 \times 0, 69 \approx 0, 28$ 0,4×0,69≈0,28, soit $e^{0, 28} \approx 1, 32$ e^(0,28)≈1,32 : 32 % au-dessus de la moyenne. Pour le petit-enfant : $0, 4^{2} \times 0, 69 \approx 0, 11$ 0,4²×0,69≈0,11, soit 12 %.
L'écart en logarithme est multiplié par $β$ β à chaque génération : suite géométrique. Pour qu'un écart soit divisé par 10, il faut $β^{n} \leq 0, 1$ βⁿ≤0,1, soit $n \geq \frac{l n 0 , 1}{l n 0 , 4} \approx 2, 5$ n≥ln0,1/ln0,4≈2,5 générations ; avec $β = 0, 6$ β=0,6, environ 4,5 générations.
3. SES : comparaisons internationales
3 min
Les estimations de $β$ β varient selon les pays : faibles dans les pays nordiques (autour de 0,2), plus élevées en France, au Royaume-Uni ou aux États-Unis (de l'ordre de 0,4 à 0,5). La « courbe de Gatsby » montre que les pays les plus inégalitaires sont aussi ceux où la transmission est la plus forte.
C'est une moyenne : elle ne dit rien des trajectoires individuelles, très variées. Et elle mesure une association, pas un mécanisme : transmission de patrimoine, d'éducation, de réseaux, mais aussi effets de quartier et d'école.
4. Conclusion
2 min
L'élasticité intergénérationnelle $β$ β, coefficient d'une régression sur les logarithmes, mesure la transmission des revenus ; l'avantage d'une famille décroît comme $β^{n}$ βⁿ. Avec $β = 0, 4$ β=0,4, il reste 12 % d'avantage relatif à la génération des petits-enfants. J'ouvre sur la courbe de Gatsby, qui relie inégalités et transmission.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

ln y_{enfant} = a + β ln y_{parent} ln y_ enfant =a+β ln y_ parent β = 0, 4 : e^{0, 4 l n 2} \approx 1, 32 (enfant) e^{0, 16 l n 2} \approx 1, 12 (petit-enfant) β=0,4: e^(0,4ln2)\approx1,32 ( enfant ) e^(0,16ln2)\approx1,12 ( petit-enfant ) β^{n} \leq 0, 1 ⟺ n \geq \frac{ln 0 , 1}{ln β} \approx 2, 5 (β = 0, 4) βⁿ\leq0,1\Leftrightarrow n\geqln0,1/lnβ\approx2,5 (β=0,4)

Conclusion : la réponse à la question

L'élasticité intergénérationnelle mesure la part de l'écart de revenu des parents qui se retrouve chez les enfants ; l'écart décroît géométriquement au fil des générations. Elle varie fortement selon les pays, ce qui montre que la transmission dépend des institutions.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi utiliser des logarithmes ?

Pour raisonner en écarts relatifs (pourcentages) ; le coefficient s'interprète alors comme une élasticité.

Que signifierait β = 1 ?

Une reproduction parfaite : l'écart relatif des parents se retrouverait intégralement chez les enfants.

Calculez e^(0,28).

$\approx 1 + 0, 28 + \frac{0 , 2 8 ^{2}}{2} \approx 1, 32$ ≈1+0,28+0,28²/2≈1,32.

Qu'est-ce que la courbe de Gatsby ?

La relation entre les inégalités de revenus d'un pays et la persistance intergénérationnelle des revenus : plus d'inégalités, plus de transmission.

β mesure-t-il une causalité ?

Non, une association statistique, qui mêle de nombreux mécanismes.

Les pièges qui coûtent des points

Interpréter β comme une probabilité.
Oublier que les revenus sont pris en logarithme.
Généraliser une moyenne aux trajectoires individuelles.

Revoir les notions

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