Question transversaleMathsSESProduction et coûts

Combien une entreprise doit-elle commander à la fois pour minimiser ses coûts de stock ?

Q: Démontrez que les deux coûts sont égaux à l'optimum.

$C'(Q)=0iffDK/Q²=h/2iffDK/Q=Qh/2$.

Commander souvent coûte en frais de commande, stocker beaucoup coûte en entreposage : le coût annuel (D/Q)·K + (Q/2)·h est minimal pour Q* = √(2DK/h). Pour 1 200 unités par an, 50 € par commande et 3 € de stockage par unité, Q* = 200 et le coût vaut 600 €.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En stage dans un magasin, j'ai vu le gérant hésiter entre commander beaucoup de marchandises d'un coup ou passer de petites commandes fréquentes. Chaque option avait un coût. J'ai découvert la formule de Wilson, utilisée depuis un siècle en logistique : elle cherche le minimum d'une somme de deux termes, l'un décroissant, l'autre croissant.

L'enjeu et les notions du programme

Minimiser une fonction de la forme a/x + bx par la dérivée et interpréter l'équilibre entre deux coûts opposés.

Mathématiques

Fonctions $x \mapsto \frac{a}{x} + b x$ xmapstoa/x+bx, dérivée, minimum (première)
Racine carrée (seconde)
Moyenne d'une grandeur qui décroît linéairement (seconde)

Sciences économiques et sociales

Organisation de la production, coûts de l'entreprise (première)
Arbitrages et choix sous contrainte (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un magasin vend $D = 1200$ D=1 200 unités par an, régulièrement. Chaque commande coûte $K = 50$ K=50 € (transport, gestion) ; stocker une unité un an coûte $h = 3$ h=3 €. Problématique : quelle quantité commander à chaque fois ?
2. Mathématiques : deux coûts opposés
4 min
Si l'on commande $Q$ Q unités à la fois, on passe $\frac{D}{Q}$ D/Q commandes par an, pour un coût $\frac{D}{Q} K$ D/QK. Le stock passe de $Q$ Q à 0 entre deux livraisons, régulièrement : le stock moyen vaut $\frac{Q}{2}$ Q/2, d'où un coût de stockage $\frac{Q}{2} h$ Q/2h.
Coût total : $C (Q) = \frac{60 000}{Q} + 1, 5 Q$ C(Q)=(60 000)/Q+1,5 Q. $C^{'} (Q) = - \frac{60 000}{Q ^{2}} + 1, 5$ C'(Q)=-(60 000)/Q²+1,5 s'annule pour $Q^{2} = 40000$ Q²=40 000, soit $Q^{*} = 200$ Q^(*)=200. Cas général : $Q^{*} = \frac{2 D K}{h}$ Q^(*)=√(2DK/h) (formule de Wilson).
Coût minimal : $C (200) = 300 + 300 = 600$ C(200)=300+300=600 € : à l'optimum, les deux coûts sont égaux. Avec $Q = 100$ Q=100 : $600 + 150 = 750$ 600+150=750 € ; avec $Q = 400$ Q=400 : $150 + 600 = 750$ 150+600=750 €. Le coût varie peu autour de l'optimum : se tromper de 50 % ne coûte que 25 % de plus.
3. SES : stocks et organisation
3 min
La racine carrée a une conséquence intéressante : si les ventes quadruplent, la quantité optimale ne fait que doubler. Les grandes entreprises ont donc proportionnellement moins de stock : c'est une économie d'échelle logistique.
Le modèle a inspiré la gestion des entreprises, avant que le « juste-à-temps » japonais (Toyota) cherche à réduire fortement les stocks en abaissant le coût de commande $K$ K. Les crises récentes (pénuries de composants) ont montré le risque de stocks trop faibles : le modèle ne tient pas compte de l'incertitude des livraisons, que l'on couvre par un stock de sécurité.
4. Conclusion
2 min
La quantité optimale à commander équilibre coûts de commande et coûts de stockage : le minimum de $\frac{D K}{Q} + \frac{Q h}{2}$ DK/Q+Qh/2 est atteint pour $Q^{*} = \frac{2 D K}{h}$ Q^(*)=√(2DK/h), ici 200 unités. J'ouvre sur le juste-à-temps et sur l'arbitrage entre efficacité et résilience révélé par les pénuries récentes.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

C (Q) = \frac{D}{Q} K + \frac{Q}{2} h = \frac{60 000}{Q} + 1, 5 Q C(Q)=D/QK+Q/2h=(60 000)/Q+1,5 Q C^{'} (Q) = 0 ⟺ Q^{*} = \frac{2 D K}{h} = \frac{2 \times 1 200 \times 50}{3} = 200 C'(Q)=0\Leftrightarrow Q^(*)=\sqrt(2DK/h)=\sqrt((2\times1 200\times50)/3)=200 C (200) = 300 + 300 = 600 C (100) = C (400) = 750 C(200)=300+300=600 C(100)=C(400)=750

Conclusion : la réponse à la question

La formule de Wilson minimise la somme d'un coût qui baisse avec la taille des commandes et d'un coût qui augmente : l'optimum, $\frac{2 D K}{h}$ √(2DK/h), égalise les deux. La racine carrée explique que les stocks croissent moins vite que les ventes.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi le stock moyen vaut-il Q/2 ?

Il décroît linéairement de Q à 0 entre deux livraisons ; la moyenne d'une fonction affine sur l'intervalle est la moyenne des extrêmes.

Démontrez que les deux coûts sont égaux à l'optimum.

$C^{'} (Q) = 0 ⟺ \frac{D K}{Q ^{2}} = \frac{h}{2} ⟺ \frac{D K}{Q} = \frac{Q h}{2}$ C'(Q)=0iffDK/Q²=h/2iffDK/Q=Qh/2.

Que devient Q* si les ventes quadruplent ?

Elle double, car elle est proportionnelle à la racine carrée de D.

Qu'est-ce que le juste-à-temps ?

Une organisation qui vise à produire et à se faire livrer exactement ce qui est nécessaire, au moment où c'est nécessaire, pour réduire les stocks.

Combien de commandes par an à l'optimum ?

$\frac{1 200}{200} = 6$ (1 200)/200=6 commandes.

Les pièges qui coûtent des points

Prendre Q au lieu de Q/2 pour le stock moyen.
Oublier de vérifier qu'il s'agit d'un minimum.
Ignorer l'incertitude des ventes et des livraisons.

Revoir les notions

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