Comment un téléphone mesure-t-il son inclinaison, et pourquoi est-il moins précis quand il est presque vertical ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En utilisant l'application « niveau à bulle » de mon téléphone, j'ai constaté qu'elle était très précise posée à plat mais beaucoup moins quand le téléphone était presque vertical. En sciences de l'ingénieur, j'ai appris que le téléphone contient un accéléromètre qui mesure la pesanteur. J'ai voulu comprendre cette différence de précision, et la dérivée du sinus m'a donné la réponse.

L'enjeu et les notions du programme

Relier une mesure à un angle par le sinus, et étudier la sensibilité de la mesure par la dérivée.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un accéléromètre au repos mesure la pesanteur $g\approx 9,81$g≈9,81 m/s² projetée sur ses axes. Problématique : comment en déduire l'inclinaison, et pourquoi la précision dépend-elle de l'angle ?

2. 2. Mathématiques : un sinus et sa dérivée

   4 min

   Si l'axe du capteur fait un angle $\theta$θ avec l'horizontale, la projection de la pesanteur sur cet axe vaut $a=g\sin \theta$a=gsinθ. On en déduit $\theta =\arcsin \frac{a}{g}$θ=arcsina/g.

   Sensibilité : une petite variation $\Delta \theta$Δθ produit une variation $\Delta a\approx g\cos \theta \Delta \theta$Δ a≈ gcosθ Δθ (approximation affine, car la dérivée de $\sin$sin est $\cos$cos). Pour $\Delta \theta =1°\approx 0,0175$Δθ=1°≈0,0175 rad : près de 0°, $\Delta a\approx 9,81\times 0,0175\approx 0,17$Δ a≈9,81×0,0175≈0,17 m/s² ; à 60°, $0,086$0,086 ; à 80°, $0,030$0,030.

   Le capteur a un bruit de mesure, par exemple 0,02 m/s². À plat, il distingue des variations d'environ $\frac{0,02}{0,17}\approx 0,1°$0,02/0,17≈0,1° ; à 80°, seulement $\frac{0,02}{0,03}\approx 0,7°$0,02/0,03≈0,7°. Près de 90°, la fonction sinus est presque plate : de grandes variations d'angle changent très peu la mesure.

   Solution : utiliser deux axes perpendiculaires, qui mesurent $g\sin \theta$gsinθ et $g\cos \theta$gcosθ, et calculer $\theta$θ avec les deux. Quand l'un devient peu sensible, l'autre l'est beaucoup.

3. 3. SI : mouvement et fusion de capteurs

   3 min

   Cette méthode suppose le téléphone immobile : s'il accélère, le capteur mesure la somme de la pesanteur et de l'accélération, et l'angle calculé est faux. Les téléphones et les drones combinent donc l'accéléromètre avec un gyroscope, qui mesure la vitesse de rotation.

   Le gyroscope est précis à court terme mais dérive à long terme ; l'accéléromètre est bruité mais ne dérive pas. Un filtre combine les deux (par exemple 98 % du gyroscope intégré et 2 % de l'accéléromètre à chaque instant) : c'est la fusion de capteurs, qui fournit une inclinaison à la fois stable et réactive.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Un accéléromètre mesure $g\sin \theta$gsinθ ; sa sensibilité $g\cos \theta$gcosθ s'effondre près de la verticale, d'où la perte de précision. Combiner deux axes, puis un gyroscope, rend la mesure fiable. J'ouvre sur la stabilisation des drones, qui repose sur ces mesures d'inclinaison à haute fréquence.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier de convertir les degrés en radians dans l'approximation affine.
• Croire que la précision est la même pour tous les angles.
• Utiliser l'accéléromètre seul sur un objet en mouvement.

Revoir les notions

• Fonctions trigonométriques (Terminale spé maths) →
• Dérivation locale (Première spé maths) →

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