Comment un robot mesure-t-il la vitesse de ses roues, et pourquoi la mesure est-elle moins précise à basse vitesse ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons asservi la vitesse des roues d'un robot. La mesure de vitesse, fournie par un codeur sur l'axe du moteur, était très stable à grande vitesse, mais sautait d'une valeur à l'autre quand le robot avançait lentement. J'ai voulu comprendre cette perte de précision, et un simple calcul d'erreur relative sur un nombre entier d'impulsions m'a donné la réponse.

L'enjeu et les notions du programme

Quantifier l'erreur relative d'une mesure par comptage et comparer deux méthodes selon la vitesse.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un codeur incrémental est un disque percé de fentes qui tourne avec l'axe ; un capteur optique produit une impulsion à chaque fente. Problématique : comment en déduire la vitesse, et avec quelle précision ?

2. 2. Mathématiques : compter des impulsions

   4 min

   Le codeur a 500 traits ; en lisant les fronts montants et descendants de ses deux voies décalées, on obtient $4\times 500=2000$4×500=2 000 impulsions par tour.

   Méthode du comptage : on compte $N$N impulsions pendant $\Delta t=10$Δ t=10 ms. La vitesse vaut $\frac{N}{2000\times 0,01}$N/(2 000×0,01) tours par seconde. Le comptage est un nombre entier : on peut se tromper d'une impulsion selon l'instant de début. Une impulsion représente $\frac{1}{2000\times 0,01}=0,05$1/(2 000×0,01)=0,05 tr/s, soit 3 tr/min.

   À 3 000 tr/min (50 tr/s), on compte $50\times 2000\times 0,01=1000$50×2 000×0,01=1 000 impulsions : l'erreur relative vaut $\frac{1}{1000}=0,1\%$1/(1 000)=0,1 %. À 30 tr/min, on n'en compte que 10 : erreur de $\frac{1}{10}=10\%$1/10=10 %. L'erreur relative est inversement proportionnelle à la vitesse.

   Méthode de la période : à basse vitesse, on mesure le temps entre deux impulsions avec une horloge rapide (par exemple 1 MHz). À 30 tr/min, deux impulsions sont séparées de 1 ms, soit 1 000 tops d'horloge : erreur de 0,1 %. Cette méthode devient imprécise à haute vitesse, où l'intervalle est court.

3. 3. SI : choisir selon le besoin

   3 min

   Les contrôleurs de moteur combinent souvent les deux méthodes : comptage aux vitesses élevées, mesure de période aux vitesses faibles. On peut aussi allonger la fenêtre de comptage, au prix d'une mesure plus lente, ce qui dégrade l'asservissement.

   Le codeur donne aussi la position : en additionnant les impulsions, on connaît l'angle parcouru, et donc la distance parcourue par la roue (odométrie). Les petites erreurs s'accumulent cependant (glissement des roues), d'où le recours à d'autres capteurs pour recaler la position.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Mesurer une vitesse en comptant des impulsions donne une erreur relative inversement proportionnelle à la vitesse : 0,1 % à 3 000 tr/min, 10 % à 30 tr/min. À basse vitesse, on mesure plutôt la période. J'ouvre sur l'odométrie, qui reconstitue la trajectoire d'un robot à partir de ses codeurs.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire que la précision est la même à toutes les vitesses.
• Oublier le facteur 4 de la lecture en quadrature.
• Confondre erreur absolue (3 tr/min) et erreur relative.

Revoir les notions

• Fonction carré et fonction inverse (Seconde) →
• Information chiffrée (Seconde) →

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