Question transversaleMathsSICapteurs et mesures

Pourquoi un capteur de distance à ultrasons se trompe-t-il quand la température change ?

Le capteur mesure le temps d'aller-retour t d'une impulsion et calcule d = v t / 2. Or la vitesse du son vaut environ 331,3 + 0,606 θ m/s : 343,4 m/s à 20 °C, 331,3 m/s à 0 °C. Un capteur réglé pour 20 °C surestime les distances d'environ 3,6 % par 0 °C. On corrige en mesurant aussi la température.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons équipé un robot d'un capteur à ultrasons pour éviter les obstacles. En le testant dehors un matin d'hiver, les distances mesurées étaient fausses de quelques centimètres. J'ai découvert que la vitesse du son dépend de la température. J'ai voulu chiffrer cette erreur et voir comment la corriger, avec une fonction affine et un calcul d'erreur relative.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une mesure par temps de vol, quantifier l'effet d'un paramètre par un calcul d'erreur relative et proposer une correction.

Mathématiques

Fonctions affines (seconde)
Erreur relative, pourcentages (seconde)
Proportionnalité (seconde)

Sciences de l'ingénieur

Capteurs : principe, grandeur d'influence, étalonnage (première, terminale)
Chaîne d'information d'un robot (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un télémètre à ultrasons émet une impulsion sonore et mesure le temps qu'elle met à revenir après avoir rebondi sur un obstacle. Problématique : comment déduit-il la distance, et pourquoi la température fausse-t-elle la mesure ?
2. Mathématiques : temps de vol et erreur relative
4 min
L'onde fait l'aller et le retour : $2 d = v t$ 2d=vt, donc $d = \frac{v t}{2}$ d=vt/2. La vitesse du son dans l'air dépend de la température selon une loi presque affine : $v (θ) \approx 331, 3 + 0, 606 θ$ v(θ)≈331,3+0,606 θ (en m/s, $θ$ θ en °C). À 20 °C, $v \approx 343, 4$ v≈343,4 m/s ; à 0 °C, $v \approx 331, 3$ v≈331,3 m/s.
Pour un obstacle à 1 m, l'aller-retour dure $\frac{2}{343 , 4} \approx 5, 82$ 2/343,4≈5,82 ms à 20 °C. Si le capteur suppose toujours 343,4 m/s alors qu'il fait 0 °C, il mesure un temps plus long et calcule une distance trop grande : l'erreur relative vaut $\frac{343 , 4 - 331 , 3}{331 , 3} \approx 3, 6 %$ (343,4-331,3)/331,3≈3,6 %, soit environ 3,6 cm sur 1 m.
L'erreur est proportionnelle à la distance : elle reste faible de près, mais atteint 14 cm à 4 m. Elle est proportionnelle à l'écart de température : environ 0,18 % par degré.
3. SI : compenser la grandeur d'influence
3 min
La température est une grandeur d'influence : elle modifie la mesure sans être la grandeur mesurée. Pour la compenser, on ajoute un capteur de température et l'on calcule $v (θ)$ v(θ) à chaque mesure dans le programme.
D'autres limites existent : l'onde se réfléchit mal sur les surfaces molles ou inclinées, le faisceau est large et peut détecter un obstacle sur le côté, et le temps de mesure limite la fréquence de rafraîchissement. Pour une grande précision, on utilise des télémètres laser, dont la vitesse (celle de la lumière) ne dépend presque pas de la température.
4. Conclusion
1,5 min
Un télémètre à ultrasons calcule $d = \frac{v t}{2}$ d=vt/2 avec une vitesse qui dépend de la température : réglé pour 20 °C, il se trompe d'environ 3,6 % à 0 °C. Une fonction affine permet de corriger la mesure. J'ouvre sur les chauves-souris, qui mesurent les distances par le même principe.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

d = \frac{v t}{2} v (θ) \approx 331, 3 + 0, 606 θ v (20) \approx 343, 4, v (0) \approx 331, 3 d=vt/2 v(θ)\approx331,3+0,606 θ v(20)\approx343,4, v(0)\approx331,3 erreur relative = \frac{343 , 4 - 331 , 3}{331 , 3} \approx 3, 6 % 1 m : t = \frac{2}{343 , 4} \approx 5, 82 ms erreur relative =(343,4-331,3)/331,3\approx3,6 % 1 m : t=2/343,4\approx5,82 ms

Conclusion : la réponse à la question

Une mesure n'est juste que si les paramètres du calcul le sont. La fonction affine de la vitesse du son et un calcul d'erreur relative montrent l'effet de la température et la façon de le compenser.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi diviser par 2 ?

L'onde parcourt la distance à l'aller et au retour.

Quelle est l'erreur à 4 m entre 0 et 20 °C ?

Environ 3,6 % de 4 m, soit 14 cm.

Qu'est-ce qu'une grandeur d'influence ?

Une grandeur, autre que celle mesurée, qui modifie le résultat de la mesure.

Combien de temps pour un aller-retour à 3 m à 20 °C ?

$\frac{6}{343 , 4} \approx 17, 5$ 6/343,4≈17,5 ms.

Pourquoi un laser est-il moins sensible à la température ?

La vitesse de la lumière dans l'air ne varie presque pas avec la température.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier l'aller-retour.
Confondre erreur absolue et erreur relative.
Croire que l'erreur est la même à toutes les distances.

Revoir les notions

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