Comment une balance électronique mesure-t-elle une déformation d'un millième de millimètre ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai démonté une balance de cuisine cassée et j'ai trouvé, sous le plateau, une barre de métal avec un petit autocollant relié à des fils. En sciences de l'ingénieur, j'ai appris que c'est une jauge de déformation, dont la résistance varie infiniment peu quand la barre plie. J'ai voulu comprendre comment on mesure une variation aussi faible, et l'approximation affine m'a éclairé.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser une approximation affine pour linéariser la sortie d'un montage, et comprendre l'intérêt d'une mesure différentielle.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une jauge de déformation est un fil métallique en zigzag collé sur une pièce : quand la pièce s'allonge, le fil s'allonge aussi et sa résistance augmente. Problématique : comment mesurer une variation de résistance de quelques dixièmes d'ohm ?

2. 2. Mathématiques : linéariser la sortie du pont

   4 min

   La variation relative de résistance est proportionnelle à la déformation : $\frac{\Delta R}{R}=K\epsilon$(Δ R)/R=Kε, avec $K\approx 2$K≈2. Une déformation $\epsilon =10^{-3}$ε=10⁻³ (1 mm par mètre) donne $\frac{\Delta R}{R}=2\times 10^{-3}$(Δ R)/R=2×10⁻³ : pour une jauge de 120 Ω, $\Delta R=0,24$Δ R=0,24 Ω.

   Mesurer 120,24 Ω au lieu de 120 Ω demande une précision de 0,2 %. Le pont de Wheatstone contourne la difficulté : quatre résistances forment deux diviseurs de tension, et l'on mesure la différence entre leurs sorties. Avec trois résistances fixes $R$R et la jauge $R+\Delta R$R+Δ R, sous la tension $E$E : $V=E\left(\frac{R+\Delta R}{2R+\Delta R}-\frac{1}{2}\right)=\frac{E}{2}\times \frac{\Delta R}{2R+\Delta R}$V=E((R+Δ R)/(2R+Δ R)-1/2)=E/2×(Δ R)/(2R+Δ R).

   Pour $\Delta R$Δ R petit devant $R$R, l'approximation affine donne $V\approx \frac{E}{4}\times \frac{\Delta R}{R}$VapproxE/4×(Δ R)/R. Sous 5 V : $V\approx \frac{5}{4}\times 2\times 10^{-3}=2,5$V≈5/4×2×10⁻³=2,5 mV. La sortie est nulle sans charge et proportionnelle à la déformation : on n'a plus qu'à l'amplifier, par exemple 1 000 fois, pour obtenir 2,5 V.

3. 3. SI : compenser et étalonner

   3 min

   La température fait aussi varier la résistance de la jauge. En plaçant une seconde jauge identique dans le pont, non déformée ou déformée en sens inverse, on compense cet effet : la différence ne garde que la déformation. Avec quatre jauges actives (deux tendues, deux comprimées), la sensibilité est multipliée par 4.

   Une balance est ensuite étalonnée avec des masses connues : on relève la tension pour plusieurs masses et l'on vérifie la proportionnalité. Les capteurs de force des robots, les pèse-personnes et les ponts instrumentés utilisent ce principe.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Une déformation d'un millième change la résistance de 0,2 % seulement ; le pont de Wheatstone transforme cette infime variation en une tension proportionnelle d'environ $\frac{E}{4}\frac{\Delta R}{R}$E/4(Δ R)/R, soit 2,5 mV, que l'on amplifie. L'approximation affine justifie cette proportionnalité. J'ouvre sur les capteurs piézoélectriques, qui produisent directement une tension sous l'effet d'un effort.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre déformation (sans unité) et allongement (en mètres).
• Oublier l'effet de la température.
• Appliquer l'approximation affine à de grandes variations.

Revoir les notions

• Dérivation locale (Première spé maths) →
• Calcul littéral et équations (Seconde) →

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