Comment calculer la probabilité qu'un accident se produise quand il peut avoir plusieurs causes combinées ?
Un arbre de défaillance relie l'événement redouté à ses causes par des portes ET (toutes les causes) et OU (au moins une). Si l'accident survient quand A et B défaillent ensemble, ou quand C défaille, avec P(A) = 0,01, P(B) = 0,02, P(C) = 0,001, alors P = 0,0002 + 0,001 − 0,0000002 ≈ 0,0012. La porte OU domine : C est la faiblesse.
Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.
Pourquoi cette question : un modèle d'introduction
Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.
En sciences de l'ingénieur, nous avons étudié la sécurité d'un ascenseur : il ne doit pas tomber, même si un câble casse. Le professeur nous a montré un « arbre de défaillance » qui combine les causes possibles avec des portes logiques. J'ai découvert que ce diagramme se traduit directement en calcul de probabilités, avec intersections et réunions d'événements.
L'enjeu et les notions du programme
Traduire un arbre logique en opérations sur des événements et calculer une probabilité avec les formules de l'intersection et de la réunion.
Mathématiques
- Probabilité de l'intersection d'événements indépendants (première)
- Formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (seconde)
- Logique : connecteurs « et », « ou » (seconde)
Sciences de l'ingénieur
- Sûreté de fonctionnement : arbre de défaillance (terminale)
- Analyse des risques d'un système (terminale)
Le plan de l'exposé en 9,5 min
1. Introduction
1 minUn accident résulte souvent d'une combinaison de défaillances. L'arbre de défaillance part de l'événement redouté et le décompose en causes, reliées par des portes ET et OU. Problématique : comment calculer sa probabilité, et où agir pour la réduire ?
2. Mathématiques : ET, OU et probabilités
4 minExemple : un frein de sécurité défaille si le capteur A et le capteur B défaillent tous les deux (redondance), ou si l'actionneur C défaille. Événement redouté : (A∩ B)∪ C.
Porte ET avec des événements indépendants : P(A∩ B)=P(A)P(B)=0,01×0,02=0,0002.
Porte OU : P(E∪ C)=P(E)+P(C)-P(E∩ C). Avec indépendance : 0,0002+0,001-0,0002×0,001≈0,0012.
Lecture : la branche de C pèse cinq fois plus que la branche redondante A∩ B. C'est un point unique de défaillance. Pour réduire le risque, il faut d'abord agir sur C : en le doublant aussi (porte ET avec un second actionneur de même fiabilité), sa contribution tombe à 10⁻⁶, et la probabilité totale à environ 0,0002, six fois moins.
Pour des probabilités petites, la porte OU s'approche d'une somme et la porte ET d'un produit : les produits rendent les branches redondantes très sûres.
3. SI : analyser pour concevoir
3 minL'arbre de défaillance est utilisé dans le nucléaire, l'aéronautique, le ferroviaire et les ascenseurs. Il oblige à recenser toutes les causes, à identifier les points uniques de défaillance et à vérifier que l'objectif de sécurité est atteint (par exemple moins de 10⁻⁹ par heure de vol pour un événement catastrophique).
Il faut veiller aux causes communes : si A et B partagent la même alimentation électrique, leur défaillance simultanée est bien plus probable que le produit P(A)P(B). On ajoute alors l'alimentation comme cause dans l'arbre, avec une porte OU au-dessus.
4. Conclusion
1,5 minUn arbre de défaillance se calcule comme une expression logique : produit pour ET, somme corrigée pour OU. Ici, la probabilité vaut environ 0,0012, dominée par le point unique de défaillance C. Le calcul montre où doubler un élément. J'ouvre sur l'analyse des modes de défaillance (AMDEC), qui part des composants plutôt que de l'événement redouté.
Ce que j'écris au tableau
Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.
=0,0002+0,001-0,0000002≈0,0012 C doublé : ≈0,0002+0,000001≈0,0002
Conclusion : la réponse à la question
Un arbre de défaillance est un calcul de probabilités sur des événements combinés. Il désigne les points uniques de défaillance, là où la redondance apporte le plus.
Les questions probables du jury
Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.
Rappelez la formule de P(A ∪ B).
P(A)+P(B)-P(A∩ B).
Pourquoi peut-on négliger P(E ∩ C) ici ?
Elle vaut 2×10⁻⁷, négligeable devant 10⁻³.
Qu'est-ce qu'un point unique de défaillance ?
Un élément dont la seule défaillance suffit à provoquer l'événement redouté.
Que se passe-t-il si A et B ont une cause commune ?
Ils ne sont plus indépendants : P(A ∩ B) peut être bien plus grande que P(A) P(B).
Quelle porte rend un système sûr ?
La porte ET entre éléments redondants indépendants : sa probabilité est un produit de petits nombres.
Les pièges qui coûtent des points
- Multiplier les probabilités d'événements non indépendants.
- Additionner sans retirer l'intersection quand les probabilités ne sont pas petites.
- Confondre porte ET et porte OU dans la traduction.
Revoir les notions
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Préparer l'oral, pas seulement le contenu
Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.
Méthode : traiter une question de Grand oral →