Question transversaleMathsSIFiabilité et maintenance

Pourquoi un avion a-t-il plusieurs moteurs et plusieurs circuits hydrauliques ?

Q: Combien d'éléments à 90 % en parallèle pour atteindre 99,99 % ?

$0,1ⁿ≤10⁻⁴⇔ n≥4$.

Un système en série ne fonctionne que si tous ses éléments fonctionnent : R = R₁ R₂ … Un système en parallèle fonctionne si au moins un fonctionne : R = 1 − (1 − R₁)(1 − R₂)… Avec des éléments fiables à 90 %, deux en série donnent 81 %, deux en parallèle 99 %, trois en parallèle 99,9 %.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En prenant l'avion, je me suis demandé pourquoi il avait deux moteurs alors qu'un seul pourrait suffire à le faire voler. En sciences de l'ingénieur, j'ai étudié la redondance, qui consiste à doubler ou tripler les fonctions vitales. J'ai voulu chiffrer le gain de fiabilité, et les probabilités d'événements indépendants m'ont donné des résultats spectaculaires.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer la fiabilité de systèmes en série et en parallèle avec des probabilités d'événements indépendants et l'événement contraire.

Mathématiques

Événements indépendants, probabilité d'une intersection (première)
Événement contraire (seconde)
Puissances, suites géométriques (première)

Sciences de l'ingénieur

Sûreté de fonctionnement : architecture série, parallèle, redondance (terminale)
Diagramme de fiabilité (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un système est fait de composants qui peuvent tomber en panne indépendamment. Problématique : comment la façon de les assembler influe-t-elle sur la fiabilité du système ?
2. Mathématiques : intersection et événement contraire
4 min
En série, le système fonctionne si tous les composants fonctionnent. Pour des pannes indépendantes : $R_{s} = R_{1} \times R_{2} \times \dots \times R_{n}$ R_s=R₁× R₂×…× Rₙ. Avec deux composants fiables à 90 % : $0, 9^{2} = 0, 81$ 0,9²=0,81. La fiabilité diminue avec le nombre d'éléments.
En parallèle, le système fonctionne si au moins un composant fonctionne. L'événement contraire est « tous en panne », de probabilité $(1 - R_{1}) (1 - R_{2}) \dots$ (1-R₁)(1-R₂)…. D'où $R_{p} = 1 - (1 - R_{1}) (1 - R_{2}) \dots$ Rₚ=1-(1-R₁)(1-R₂)…. Avec deux composants à 90 % : $1 - 0, 1^{2} = 0, 99$ 1-0,1²=0,99 ; avec trois : $1 - 0, 1^{3} = 0, 999$ 1-0,1³=0,999.
Chaque élément redondant divise la probabilité de panne par 10 dans cet exemple : de 10 % à 1 %, puis 0,1 %. La probabilité de panne $0, 1^{n}$ 0,1ⁿ est une suite géométrique qui tend vers 0.
Systèmes mixtes : deux chaînes en parallèle, chacune de deux éléments en série : chaque chaîne vaut $0, 81$ 0,81, et le système $1 - 0, 1 9^{2} \approx 0, 964$ 1-0,19²≈0,964.
3. SI : le prix et les pièges de la redondance
3 min
La redondance coûte : masse, encombrement, prix. On la réserve aux fonctions critiques (commandes de vol, freinage, alimentation d'un hôpital). Un avion bimoteur est certifié pour voler avec un seul moteur ; il possède trois circuits hydrauliques indépendants.
Le piège : l'indépendance. Si les deux éléments redondants partagent une cause de panne (même alimentation, même lot de fabrication, même incendie), le calcul surestime la fiabilité. Les ingénieurs séparent donc physiquement les éléments redondants et utilisent parfois des technologies différentes pour éviter les pannes de « mode commun ».
4. Conclusion
1,5 min
En série, les fiabilités se multiplient et diminuent ; en parallèle, ce sont les probabilités de panne qui se multiplient : 99 % avec deux éléments à 90 %, 99,9 % avec trois. La redondance est un calcul de probabilités, valable seulement si les pannes sont indépendantes. J'ouvre sur le vote majoritaire entre trois calculateurs.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

s \overset{e}{ˊ} rie : R = \prod R_{i} 0, 9^{2} = 0, 81 parall \overset{e}{ˋ} le : R = 1 - \prod (1 - R_{i}) 1 - 0, 1^{2} = 0, 99 série : R=Π Rᵢ 0,9²=0,81 parallèle : R=1-Π(1-Rᵢ) 1-0,1²=0,99 1 - 0, 1^{3} = 0, 999 mixte : 1 - (1 - 0, 81)^{2} \approx 0, 964 1-0,1³=0,999 mixte : 1-(1-0,81)²\approx0,964

Conclusion : la réponse à la question

Assembler en série fragilise, assembler en parallèle protège. Les probabilités d'événements indépendants et l'événement contraire chiffrent ces effets, à condition de vérifier l'indépendance.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Quelle fiabilité pour 10 éléments à 99 % en série ?

$0, 9 9^{10} \approx 0, 904$ 0,99¹⁰≈0,904.

Pourquoi passer par l'événement contraire en parallèle ?

« Au moins un fonctionne » est le contraire de « tous en panne », plus simple à calculer.

Qu'est-ce qu'une panne de mode commun ?

Une cause unique qui met en panne plusieurs éléments redondants à la fois.

Combien d'éléments à 90 % en parallèle pour atteindre 99,99 % ?

$0, 1^{n} \leq 1 0^{- 4} ⟺ n \geq 4$ 0,1ⁿ≤10⁻⁴⇔ n≥4.

Un avion bimoteur peut-il voler avec un seul moteur ?

Oui, c'est une exigence de certification : chaque moteur seul doit permettre de poursuivre le vol.

Les pièges qui coûtent des points

Additionner les fiabilités en parallèle.
Oublier l'hypothèse d'indépendance.
Confondre fiabilité et probabilité de panne.

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