Question transversaleMathsSIFiabilité et maintenance

Pourquoi un système fait de cent composants très fiables peut-il tomber souvent en panne ?

Q: Justifiez ln(1 − p) ≈ −p.

La tangente en 0 à la courbe de $x↦ln(1-x)$ a pour équation $y=-x$.

Q: Calculez 0,99⁽1/100).

$e^(ln0,99/100)≈ e^(-0,0001)≈0,9999$.

Q: Que devient la fiabilité avec 1 000 composants à 99,9 % ?

$0,999¹⁰⁰⁰≈ e⁻¹≈0,37$.

Cent composants fiables à 99,9 % montés en série donnent un système fiable à 0,999¹⁰⁰ ≈ 90,5 % seulement. La probabilité de panne est presque multipliée par cent : 1 − e^(−0,1) ≈ 9,5 %. Pour qu'un système de 100 éléments atteigne 99 %, chaque élément doit être fiable à 99,99 %.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons étudié la fiabilité d'une carte électronique comportant une centaine de composants, chacun très fiable. J'ai été surpris d'apprendre que la carte entière était beaucoup moins fiable que chacun de ses composants. J'ai voulu comprendre cet effet de nombre, que l'on calcule avec une puissance et que l'on approche par l'exponentielle.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer une puissance d'un nombre proche de 1 et l'approcher par l'exponentielle pour comprendre l'effet du nombre de composants.

Mathématiques

Suites géométriques, puissances (première)
Approximation (1 − p)ⁿ ≈ e^(−np), logarithme (terminale)
Événements indépendants (première)

Sciences de l'ingénieur

Fiabilité d'un système en série (terminale)
Choix des composants et qualité (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un système complexe (carte électronique, voiture, fusée) contient de nombreux composants, dont chacun est indispensable. Problématique : comment la fiabilité du système dépend-elle du nombre de composants ?
2. Mathématiques : une puissance proche de 1
4 min
Pour $n$ n composants indépendants, chacun de fiabilité $r$ r, montés en série : $R = r^{n}$ R=rⁿ. Avec $r = 0, 999$ r=0,999 et $n = 100$ n=100 : $R = 0, 99 9^{100} \approx 0, 905$ R=0,999¹⁰⁰≈0,905. La probabilité de panne passe de 0,1 % pour un composant à 9,5 % pour le système.
Approximation : $r^{n} = e^{n l n r}$ rⁿ=e^(nln r) et, pour $p = 1 - r$ p=1-r petit, $ln (1 - p) \approx - p$ ln(1-p)≈-p. Donc $R \approx e^{- n p}$ R≈ e^(-np) et la probabilité de panne vaut environ $1 - e^{- n p} \approx n p$ 1-e^(-np)≈ np quand $n p$ np est petit. Ici $n p = 0, 1$ np=0,1 : $1 - e^{- 0, 1} \approx 0, 095$ 1-e^(-0,1)≈0,095. Les probabilités de panne s'additionnent presque.
Exigence inverse : pour un système de 100 éléments fiable à 99 %, il faut $r^{100} \geq 0, 99$ r¹⁰⁰≥0,99, soit $r \geq 0, 9 9^{1/100} \approx 0, 9999$ r≥0,99^(1/100)≈0,9999. Chaque composant doit être dix fois plus fiable.
Pour une fusée de 10 000 éléments critiques et une fiabilité globale de 99 %, il faudrait $r \geq 0, 999999$ r≥0,999999 environ : un composant défaillant sur un million.
3. SI : réduire et renforcer
3 min
Deux leviers : réduire le nombre de composants critiques (simplifier, intégrer plusieurs fonctions dans une même puce) et améliorer la fiabilité de chacun (composants qualifiés, essais de déverminage, conditions d'utilisation modérées).
On identifie aussi le maillon faible : un seul composant cent fois moins fiable que les autres peut dominer la probabilité de panne. L'analyse de fiabilité classe les composants par contribution, pour concentrer les efforts sur les plus critiques ou leur ajouter de la redondance.
4. Conclusion
1,5 min
Cent composants à 99,9 % donnent un système à environ 90,5 % : les probabilités de panne s'additionnent presque, $1 - r^{n} \approx n p$ 1-rⁿ≈ np. Pour viser 99 %, chaque élément doit atteindre 99,99 %. J'ouvre sur l'exigence de fiabilité de l'aéronautique, de l'ordre d'une panne catastrophique par milliard d'heures de vol.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

R = r^{n} = 0, 99 9^{100} \approx 0, 905 r^{n} = e^{n l n r} \approx e^{- n p} 1 - e^{- 0, 1} \approx 0, 095 R=rⁿ=0,999¹⁰⁰\approx0,905 rⁿ=e^(nln r)\approx e^(-np) 1-e^(-0,1)\approx0,095 r^{100} \geq 0, 99 ⟺ r \geq 0, 9 9^{1/100} \approx 0, 9999 r¹⁰⁰\geq0,99\Leftrightarrow r\geq0,99^(1/100)\approx0,9999

Conclusion : la réponse à la question

La fiabilité d'un système en série décroît exponentiellement avec le nombre de composants. Une puissance et son approximation exponentielle expliquent pourquoi la complexité se paie en fiabilité.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Justifiez ln(1 − p) ≈ −p.

La tangente en 0 à la courbe de $x \mapsto ln (1 - x)$ x↦ln(1-x) a pour équation $y = - x$ y=-x.

Calculez 0,99^(1/100).

$e^{\frac{l n 0 , 99}{100}} \approx e^{- 0, 0001} \approx 0, 9999$ e^(ln0,99/100)≈ e^(-0,0001)≈0,9999.

Que devient la fiabilité avec 1 000 composants à 99,9 % ?

$0, 99 9^{1000} \approx e^{- 1} \approx 0, 37$ 0,999¹⁰⁰⁰≈ e⁻¹≈0,37.

Pourquoi simplifier un système améliore-t-il sa fiabilité ?

Moins de composants critiques signifie moins de facteurs dans le produit.

Qu'est-ce que le déverminage ?

Une période de fonctionnement sous contrainte avant livraison, pour éliminer les composants à défaut de jeunesse.

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'un système hérite de la fiabilité de ses composants.
Additionner exactement les probabilités de panne (ce n'est qu'une approximation).
Oublier l'hypothèse d'indépendance.

Revoir les notions

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