Faut-il remplacer un composant électronique qui a déjà fonctionné longtemps, de peur qu'il tombe bientôt en panne ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans l'entreprise où travaille ma mère, on remplace systématiquement certaines pièces après un nombre d'heures donné. J'ai demandé si l'on faisait de même pour les cartes électroniques, et on m'a répondu que non. En sciences de l'ingénieur, j'ai compris pourquoi grâce à un calcul de probabilité conditionnelle : un composant à taux de panne constant n'a pas d'« âge ».

L'enjeu et les notions du programme

Calculer une probabilité conditionnelle avec la fonction exponentielle et en déduire une stratégie de maintenance.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un composant a fonctionné sans panne pendant $s$s heures. Problématique : sa probabilité de tenir encore $t$t heures est-elle plus faible que celle d'un composant neuf ?

2. 2. Mathématiques : une probabilité conditionnelle

   4 min

   Soit $T$T la durée de fonctionnement, avec $P(T>t)=e^{-\lambda t}$P(T>t)=e^(-λ t). On cherche $P(T>s+t\mid T>s)=\frac{P(T>s+t)}{P(T>s)}$P(T>s+t| T>s)=(P(T>s+t))/P(T>s), car l'événement $T>s+t$T>s+t est inclus dans $T>s$T>s.

   Par la propriété de l'exponentielle : $\frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(T>t)$(e^(-λ(s+t)))/(e^(-λ s))=e^(-λ t)=P(T>t). La probabilité de tenir encore $t$t heures est la même qu'au premier jour : la loi est « sans mémoire ».

   Exemple : $\lambda =10^{-5}$λ=10⁻⁵ par heure. Un composant neuf tient un an avec la probabilité 0,916. Un composant qui a déjà 5 ans de service tient une année de plus avec la même probabilité 0,916.

   Au contraire, pour une pièce qui s'use, par exemple avec $P(T>t)=e^{-(t/\eta {)}^2}$P(T>t)=e^(-(t/η)²), le rapport $\frac{P(T>s+t)}{P(T>s)}=e^{-((s+t{)}^2-s^2)/{\eta }^2}$(P(T>s+t))/P(T>s)=e^(-((s+t)²-s²)/η²) diminue quand $s$s augmente : une pièce âgée a plus de chances de lâcher qu'une neuve.

3. 3. SI : choisir la bonne maintenance

   3 min

   Pour les pièces qui s'usent (roulements, courroies, freins), la maintenance préventive est utile : on les remplace avant que leur risque de panne n'augmente trop. Pour l'électronique en vie utile, la remplacer préventivement gaspille de l'argent, et peut même ajouter un risque de défaut de jeunesse sur la pièce neuve.

   On surveille alors son état (maintenance conditionnelle) ou on la remplace à la panne (maintenance corrective), en prévoyant des pièces de rechange et parfois une redondance. Distinguer les deux comportements, avec ou sans mémoire, est donc une décision économique.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Avec une fiabilité exponentielle, $P(T>s+t\mid T>s)=P(T>t)$P(T>s+t| T>s)=P(T>t) : un composant électronique ne vieillit pas pendant sa vie utile, et le remplacer préventivement est inutile. Une probabilité conditionnelle et une propriété de l'exponentielle guident la stratégie de maintenance. J'ouvre sur l'optimisation de la date de remplacement des pièces qui s'usent.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire qu'un composant électronique s'use régulièrement.
• Oublier de diviser par P(T > s).
• Généraliser le modèle sans mémoire aux pièces mécaniques.

Revoir les notions

• Probabilités conditionnelles (Première spé maths) →
• Fonction exponentielle (Terminale spé maths) →

Autres questions : fiabilité et maintenance

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