Question transversaleMathsSICapteurs et mesures

Comment un lampadaire décide-t-il de s'allumer à la tombée de la nuit sans clignoter ?

Q: Trouvez γ si R passe de 1 kΩ à 5 kΩ quand E passe de 100 à 10 lux.

$γ=-(log5000-log1000)/(log10-log100)=log5/1≈0,70$.

La résistance d'une photorésistance suit une loi en puissance, R = k E^(−γ) : en passant à log₁₀, log R = log k − γ log E devient une droite. Avec γ = 0,7, diviser l'éclairement par 10 multiplie R par environ 5. Deux seuils (allumage sous 20 lux, extinction au-dessus de 40 lux) évitent que le passage d'un nuage fasse clignoter la lampe.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En rentrant le soir, j'ai remarqué que les lampadaires de ma rue s'allumaient progressivement à la tombée de la nuit, sans jamais clignoter même quand un nuage passe. En sciences de l'ingénieur, j'ai étudié la photorésistance, dont la résistance varie énormément avec la lumière. Pour la décrire, il a fallu passer au logarithme, et pour la commande, utiliser deux seuils.

L'enjeu et les notions du programme

Linéariser une loi en puissance par le logarithme et concevoir une décision à hystérésis pour éviter les oscillations.

Mathématiques

Logarithme décimal, propriétés log(ab) et log(aⁿ) (terminale)
Fonctions puissances, échelles logarithmiques (terminale)
Équations de droites (seconde)

Sciences de l'ingénieur

Capteurs de lumière, caractéristique d'un capteur (première)
Commande tout ou rien à hystérésis (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Une photorésistance a une résistance de quelques centaines d'ohms en plein jour et de plusieurs mégohms dans le noir. Problématique : comment décrire une variation aussi grande, et comment l'utiliser pour allumer une lampe au bon moment ?
2. Mathématiques : passer au logarithme
4 min
La résistance suit approximativement une loi en puissance : $R = k E^{- γ}$ R=k E^(-γ), où $E$ E est l'éclairement en lux et $γ \approx 0, 7$ γ≈0,7. Sur un graphique ordinaire, la courbe est écrasée près des axes.
En prenant le logarithme décimal : $lo g R = lo g k - γ lo g E$ log R=log k-γlog E. En posant $X = lo g E$ X=log E et $Y = lo g R$ Y=log R, on obtient une droite de pente $- γ$ -γ. Sur un graphique à échelles logarithmiques, les points du fabricant s'alignent, et l'on lit $γ$ γ comme une pente.
Conséquence : diviser l'éclairement par 10 ajoute $γ$ γ au logarithme de $R$ R, donc multiplie $R$ R par $1 0^{0, 7} \approx 5$ 10^(0,7)≈5. Entre le plein soleil (100 000 lux) et la nuit (1 lux), un facteur $1 0^{5}$ 10⁵ d'éclairement, la résistance est multipliée par $1 0^{3, 5} \approx 3000$ 10^(3,5)≈3 000.
Pour retrouver $γ$ γ à partir de deux mesures : $γ = - \frac{l o g R _{2} - l o g R _{1}}{l o g E _{2} - l o g E _{1}}$ γ=-(log R₂-log R₁)/(log E₂-log E₁).
3. SI : deux seuils pour ne pas clignoter
3 min
Avec un seul seuil, quand l'éclairement fluctue autour de cette valeur (nuage, phares de voiture, lampe elle-même qui éclaire le capteur), la lampe s'allumerait et s'éteindrait sans cesse. On utilise deux seuils : allumage sous 20 lux, extinction au-dessus de 40 lux. Entre les deux, la lampe garde son état : c'est l'hystérésis.
On ajoute souvent une temporisation : il faut que l'éclairement reste sous le seuil pendant une minute pour allumer. Le capteur est placé à l'abri de la lumière de la lampe elle-même, sinon elle s'éteindrait dès qu'elle s'allume.
4. Conclusion
1,5 min
Le logarithme transforme la loi en puissance d'une photorésistance en droite, et révèle qu'un facteur 10 de lumière multiplie la résistance par environ 5. Deux seuils et une temporisation empêchent le clignotement. J'ouvre sur l'œil humain, dont la sensation de luminosité suit elle aussi une échelle logarithmique.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

R = k E^{- γ} ⟺ lo g R = lo g k - γ lo g E γ = 0, 7 : E \div 10 \Rightarrow R \times 1 0^{0, 7} \approx 5 R=k E^(-γ)\Leftrightarrowlog R=log k-γlog E γ=0,7: E\div10\Rightarrow R\times10^(0,7)\approx5 γ = - \frac{lo g R _{2} - lo g R _{1}}{lo g E _{2} - lo g E _{1}} allumage < 20 lux, extinction > 40 lux γ=-(log R₂-log R₁)/(log E₂-log E₁) allumage <20 lux , extinction >40 lux

Conclusion : la réponse à la question

Un capteur aux variations énormes se décrit simplement en échelle logarithmique, et une commande à deux seuils le rend utilisable. Logarithme et hystérésis font un éclairage public fiable.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez 10^0,7.

Environ 5,0.

Démontrez log(k E^(−γ)) = log k − γ log E.

Par log(ab) = log a + log b et log(aⁿ) = n log a.

Trouvez γ si R passe de 1 kΩ à 5 kΩ quand E passe de 100 à 10 lux.

$γ = - \frac{l o g 5000 - l o g 1000}{l o g 10 - l o g 100} = \frac{l o g 5}{1} \approx 0, 70$ γ=-(log5000-log1000)/(log10-log100)=log5/1≈0,70.

Pourquoi deux seuils ?

Pour éviter que de petites fluctuations autour d'un seuil unique fassent clignoter la lampe.

Que se passe-t-il si le capteur voit la lampe ?

La lampe allumée augmente l'éclairement mesuré et provoque son extinction : on obtient un clignotement.

Les pièges qui coûtent des points

Tracer la loi en échelles linéaires et conclure qu'elle est compliquée.
Confondre log décimal et ln dans la lecture de la pente.
Oublier l'hystérésis.

Revoir les notions

Autres questions : capteurs et mesures

Toutes les questions maths-sciences de l'ingénieur →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →