Droites du plan en Seconde

Les droites du plan en seconde : cours complet

Les droites sont des objets centraux en géométrie repérée. En seconde, tu apprends à les représenter par des équations (réduite ou cartésienne), à déterminer leurs propriétés (parallélisme, perpendicularité), et à résoudre des systèmes linéaires liés à elles.

Équations d'une droite

Équation réduite

Pour une droite non verticale, l'équation réduite s'écrit :

$$y=mx+p$$y = mx + p

• $m$m est le coefficient directeur (pente).
• $p$p est l'ordonnée à l'origine.

Équation cartésienne

Toute droite admet une équation cartésienne de la forme :

$$ax+by+c=0\text{avec }(a,b)\ne (0,0)$$ax + by + c = 0 avec (a, b) ≠ (0, 0)

• Si $b\ne 0$b ≠ 0 : on peut isoler $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$y = -a/b x - c/b (forme réduite).
• Si $b=0$b = 0 : la droite est verticale, équation $x=-\frac{c}{a}$x = -c/a.

Lien

$$y=mx+p⟺mx-y+p=0$$y = mx + p ⇔ mx - y + p = 0

(Ce qui est de la forme $ax+by+c=0$ax + by + c = 0 avec $a=m$a = m, $b=-1$b = -1, $c=p$c = p.)

Vecteur directeur d'une droite

Définition

Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul parallèle à cette droite.

À partir de l'équation réduite

Si la droite a pour équation $y=mx+p$y = mx + p, un vecteur directeur est $\vec{u}(1;m)$vecteur u (1 ; m).

À partir de l'équation cartésienne

Si la droite a pour équation $ax+by+c=0$ax + by + c = 0, un vecteur directeur est $\vec{u}(-b;a)$vecteur u (-b ; a).

Exemple

Droite $2x-3y+5=0$2x - 3y + 5 = 0 : vecteur directeur $\vec{u}(3;2)$vecteur u (3 ; 2).

Comment trouver l'équation d'une droite

Connaissant deux points

Si $A(x_A;y_A)$A(x_A ; y_A) et $B(x_B;y_B)$B(x_B ; y_B) :

1. $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$m = (y_B - y_A)/(x_B - x_A) (si $x_A\ne x_B$x_A ≠ x_B).
2. $p=y_A-m{x}_A$p = y_A - m x_A.
3. Équation : $y=mx+p$y = mx + p.

Connaissant un point et le coefficient directeur

$A(x_A;y_A)$A(x_A ; y_A) et $m$m → $p=y_A-m{x}_A$p = y_A - m x_A.

Connaissant un point et un vecteur directeur

$\vec{u}(\alpha ;\beta )$vecteur u (α ; β) → $m=\frac{\beta }{\alpha }$m = β/α (si $\alpha \ne 0$α ≠ 0).

Position relative de deux droites

Parallélisme

Deux droites $y=mx+p$y = mx + p et $y=m^{\prime }x+p^{\prime }$y = m'x + p' sont parallèles ssi $m=m^{\prime }$m = m'.

En équation cartésienne, $ax+by+c=0$ax + by + c = 0 et $a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0$a'x + b'y + c' = 0 sont parallèles ssi $a{b}^{\prime }-a^{\prime }b=0$ab' - a'b = 0.

Confondues

Parallèles et ayant un point commun.

Sécantes

Non parallèles : un seul point d'intersection.

Perpendicularité (en repère orthonormé)

Deux droites de coefficients directeurs $m$m et $m^{\prime }$m' sont perpendiculaires ssi :

$$m\times m^{\prime }=-1$$m × m' = -1

Exemple

La droite $y=2x+1$y = 2x + 1 est perpendiculaire à $y=-\frac{1}{2}x+3$y = -1/2x + 3.

En cartésienne

$ax+by+c=0$ax + by + c = 0 et $a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0$a'x + b'y + c' = 0 sont perpendiculaires ssi $a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }=0$aa' + bb' = 0.

Intersection de deux droites

On résout le système des deux équations.

Exemple

$$\{\begin{array}{l}y=2x+1\\ y=-x+4\end{array}$$y = 2x + 1 ; y = -x + 4

$2x+1=-x+4⟺3x=3⟺x=1$2x + 1 = -x + 4 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1. Puis $y=3$y = 3.

Point d'intersection : $(1;3)$(1 ; 3).

Représenter graphiquement une droite

Méthode 1

À partir de $y=mx+p$y = mx + p : on place $(0;p)$(0 ; p), puis un autre point (par exemple $(1;m+p)$(1 ; m+p)), et on trace.

Méthode 2

À partir d'un point $A$A et d'un vecteur directeur $\vec{u}$vecteur u : on place $A$A, puis on reporte $\vec{u}$vecteur u pour trouver un second point.

Demi-plan

Une droite partage le plan en deux demi-plans.

Critère

Si la droite a pour équation $ax+by+c=0$ax + by + c = 0 :

• $ax+by+c>0$ax + by + c > 0 pour les points d'un demi-plan.
• $ax+by+c<0$ax + by + c < 0 pour les points de l'autre.

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier qu'une droite verticale n'a pas de coefficient directeur.
• Mal calculer $m$m : $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$(y_B - y_A)/(x_B - x_A), respecter l'ordre.
• Confondre parallèles et perpendiculaires : $m=m^{\prime }$m = m' vs $m\times m^{\prime }=-1$m × m' = -1.
• Oublier les conditions du repère orthonormé pour la perpendicularité.

FAQ — Les droites du plan en seconde

Toute droite a-t-elle une équation réduite ?

Non : les droites verticales n'en ont pas (équation $x=c$x = c). Toutes les droites ont par contre une équation cartésienne.

Comment savoir si deux droites sont parallèles ?

Comparer leurs coefficients directeurs : si égaux, parallèles.

Pourquoi le critère $m\times m^{\prime }=-1$m × m' = -1 pour la perpendicularité ?

Parce que cela traduit que les vecteurs directeurs $(1;m)$(1 ; m) et $(1;m^{\prime })$(1 ; m') sont orthogonaux ($1\times 1+m\times m^{\prime }=0$1 × 1 + m × m' = 0, soit $m{m}^{\prime }=-1$m m' = -1).

Quelle équation utiliser : réduite ou cartésienne ?

La réduite est plus parlante (pente, ordonnée à l'origine). La cartésienne marche pour toutes les droites, y compris verticales.