Information chiffrée en Seconde

L'information chiffrée en seconde : cours complet

Un pourcentage compare deux nombres. Il exprime soit une proportion (une partie d'un tout, au même moment), soit une évolution (deux valeurs d'une même grandeur, à deux moments). Tout le chapitre consiste à savoir lequel, et sur quel ensemble de référence il porte.

Proportions

La proportion d'une partie $A$A dans un ensemble $E$E est

$$p=\frac{n_A}{n_E}0⩽p⩽1$$p = n_A/n_E 0 ≤ p ≤ 1

On l'écrit en décimal, en fraction ou en pourcentage : $0,35=\frac{35}{100}=35\%$0,35 = 35/100 = 35 %. La même relation se lit dans trois sens :

• $p=\frac{n_A}{n_E}$p = n_A/n_E : $378$378 demi-pensionnaires sur $900$900 élèves, $p=0,42$p = 0,42 ;
• $n_A=p\times n_E$n_A = p × n_E : $15\%$15 % de $1240$1 240 salariés, $0,15\times 1240=186$0,15 × 1 240 = 186 ;
• $n_E=\frac{n_A}{p}$n_E = n_A/p : $63$63 adhérents représentent $35\%$35 % du club, qui en compte $\frac{63}{0,35}=180$63/0,35 = 180.

Pourcentage de pourcentage

Si $A\subset B\subset E$A ⊂ B ⊂ E, que $A$A représente une proportion $p_1$p₁ de $B$B et $B$B une proportion $p_2$p₂ de $E$E, alors

$$\frac{n_A}{n_E}=p_1\times p_2$$n_A/n_E = p₁ × p₂

Exemple. $40\%$40 % des élèves d'un lycée sont en seconde, et $15\%$15 % des élèves de seconde sont internes : les internes de seconde représentent $0,15\times 0,40=0,06$0,15 × 0,40 = 0,06, soit $6\%$6 % des élèves du lycée.

On n'additionne que des proportions qui ont le même ensemble de référence. Si $30\%$30 % des filles et $20\%$20 % des garçons font partie d'une association, avec $60\%$60 % de filles, la proportion d'élèves de l'association est $0,3\times 0,6+0,2\times 0,4=0,26$0,3 × 0,6 + 0,2 × 0,4 = 0,26, et non $50\%$50 %.

Évolution d'une grandeur

Une grandeur passe de $V_1$V₁ (valeur initiale) à $V_2$V₂ (valeur finale).

Le lien fondamental est

$$CM=1+t$$CM = 1 + t

Augmenter de $t\%$t %, c'est multiplier par $1+\frac{t}{100}$1 + t/100 ; diminuer de $t\%$t %, c'est multiplier par $1-\frac{t}{100}$1 - t/100. Une baisse de $30\%$30 % correspond à $CM=0,7$CM = 0,7.

Retrouver la valeur initiale

On divise par le coefficient : $V_1=\frac{V_2}{CM}$V₁ = V₂/CM. Un prix TTC de $120$120 € avec une TVA de $20\%$20 % correspond à un prix HT de $\frac{120}{1,2}=100$120/1,2 = 100 € (la TVA vaut $20$20 €, pas $24$24 €).

Évolutions successives

Le coefficient global est le produit des coefficients :

$$CM=C{M}_1\times C{M}_2\times \cdots \times C{M}_n$$CM = CM₁ × CM₂ × … × CMₙ

• $+10\%$+10 % puis $+20\%$+20 % : $1,1\times 1,2=1,32$1,1 × 1,2 = 1,32, soit $+32\%$+32 % (et non $+30\%$+30 %) ;
• $+20\%$+20 % puis $-20\%$-20 % : $1,2\times 0,8=0,96$1,2 × 0,8 = 0,96, soit $-4\%$-4 % ;
• trois hausses de $5\%$5 % : $1,05^3\approx 1,158$1,05³ ≈ 1,158, soit environ $+15,8\%$+15,8 %.

Évolution réciproque

L'évolution qui ramène $V_2$V₂ à $V_1$V₁ a pour coefficient l'inverse :

$$C{M}^{\prime }=\frac{1}{CM}$$CM' = 1/CM

Après une hausse de $25\%$25 %, il faut une baisse de $20\%$20 % ($\frac{1}{1,25}=0,8$1/1,25 = 0,8) ; après une baisse de $50\%$50 %, une hausse de $100\%$100 %.

Points de pourcentage

Quand une proportion évolue, on distingue :

• l'écart en points : le taux de chômage passe de $8\%$8 % à $10\%$10 %, soit $+2$+2 points ;
• l'évolution en pourcentage : $\frac{10-8}{8}=25\%$(10 - 8)/8 = 25 % de hausse du taux.

Erreurs fréquentes à éviter

• Additionner des taux successifs au lieu de multiplier les coefficients.
• Compenser $+t\%$+t % par $-t\%$-t % : la réciproque de $+25\%$+25 % est $-20\%$-20 %.
• Retirer le pourcentage à la valeur finale pour revenir en arrière : il faut diviser par $CM$CM.
• Mélanger les ensembles de référence : « $60\%$60 % des fumeurs sont des hommes » n'est pas « $60\%$60 % des hommes fument ».
• Confondre points et pourcentage.

FAQ — L'information chiffrée en seconde

Comment savoir si un pourcentage est une proportion ou une évolution ?

Une proportion compare une partie à un tout au même moment (« $3\%$3 % des produits sont en promotion ») ; une évolution compare deux valeurs à deux moments (« les prix ont augmenté de $3\%$3 % »).

Pourquoi une hausse de 20 % puis une baisse de 20 % ne s'annulent-elles pas ?

Parce que la baisse s'applique à un prix déjà augmenté : sur $100$100 €, on passe à $120$120 € puis à $96$96 €. Les coefficients se multiplient : $1,2\times 0,8=0,96$1,2 × 0,8 = 0,96.

Comment calculer un prix hors taxe ?

On divise le prix TTC par $1+$1 + le taux de TVA : avec $20\%$20 %, $HT=\frac{TTC}{1,2}$HT = TTC/1,2.

Une augmentation peut-elle dépasser 100 % ?

Oui : une valeur multipliée par $3$3 a augmenté de $200\%$200 %. En revanche, une baisse ne peut pas dépasser $100\%$100 %.

Que veut dire « multiplié par 3,2 » ?

Que $CM=3,2$CM = 3,2 : la valeur a augmenté de $220\%$220 %, pas de $320\%$320 %.