Question transversaleMathsSIFiabilité et maintenance

Combien de pièces faut-il tester sans aucune panne pour affirmer qu'elles sont fiables à 99 % ?

Q: Pourquoi l'inégalité change-t-elle de sens ?

On divise par $ln0,99$, qui est négatif.

Q: Combien d'essais pour 95 % de fiabilité ?

$ln0,05/ln0,95≈58,4$ : 59 essais.

Q: Que peut-on affirmer après 20 essais réussis ?

Une fiabilité d'environ 85 % au moins, avec un risque de 5 %.

Q: Pourquoi supposer les essais indépendants ?

Pour multiplier les probabilités ; des pièces d'un même lot défectueux ne le seraient pas.

Si la fiabilité n'était que de 99 %, la probabilité que n pièces passent toutes le test vaudrait 0,99ⁿ. Pour que ce succès soit improbable (moins de 5 %), il faut 0,99ⁿ ≤ 0,05, soit n ≥ ln 0,05 / ln 0,99 ≈ 298,1 : 299 essais sans défaillance. Pour 99,9 %, il en faut 2 995.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons testé une vingtaine de pièces imprimées en 3D, et aucune n'a cassé. J'ai été tenté de conclure qu'elles étaient « fiables à 100 % ». Le professeur m'a demandé combien d'essais il faudrait pour affirmer une fiabilité de 99 %. Le calcul, avec une puissance et un logarithme, m'a montré qu'il en faut bien plus que je ne le pensais.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser des probabilités d'événements indépendants et le logarithme pour dimensionner un plan d'essais et raisonner sur un niveau de confiance.

Mathématiques

Épreuves indépendantes, puissance d'une probabilité (première)
Logarithme, inéquation qⁿ ≤ a (terminale)
Prise de décision, risque d'erreur (première)

Sciences de l'ingénieur

Validation et essais de qualification (terminale)
Fiabilité d'un produit (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
On teste $n$ n pièces et aucune ne casse. Problématique : à partir de combien d'essais réussis peut-on affirmer, avec une confiance raisonnable, que la fiabilité dépasse 99 % ?
2. Mathématiques : un raisonnement par l'invraisemblance
4 min
Supposons que la fiabilité ne soit que $r = 0, 99$ r=0,99. Chaque pièce passe le test avec la probabilité 0,99, indépendamment. La probabilité que les $n$ n pièces passent toutes vaut $0, 9 9^{n}$ 0,99ⁿ.
Si cette probabilité est très faible, observer $n$ n succès rend l'hypothèse « $r \leq 0, 99$ r≤0,99 » peu crédible. On fixe un risque de 5 % : on exige $0, 9 9^{n} \leq 0, 05$ 0,99ⁿ≤0,05. En passant au logarithme (fonction croissante) et en divisant par $ln 0, 99 < 0$ ln0,99<0 (ce qui inverse l'inégalité) : $n \geq \frac{l n 0 , 05}{l n 0 , 99} \approx 298, 1$ n≥ln0,05/ln0,99≈298,1. Il faut 299 essais sans défaillance.
Pour 99,9 % : $n \geq \frac{l n 0 , 05}{l n 0 , 999} \approx 2994, 2$ n≥ln0,05/ln0,999≈2 994,2, soit 2 995 essais. Le nombre d'essais est environ $\frac{3}{1 - r}$ 3/(1-r) (car $ln 0, 05 \approx - 3$ ln0,05≈-3 et $ln r \approx - (1 - r)$ ln r≈-(1-r)) : c'est la « règle de trois ».
Mes 20 essais réussis permettent seulement d'affirmer, avec ce même risque, une fiabilité d'environ $1 - \frac{3}{20} = 85 %$ 1-3/20=85 %.
3. SI : le coût de la preuve
3 min
Prouver une haute fiabilité par des essais directs coûte cher : 3 000 pièces pour 99,9 %, des millions pour l'aéronautique. On combine donc les essais avec des calculs (fiabilité des composants), des essais accélérés et le retour d'expérience des produits déjà en service.
Le niveau de confiance (ici 95 %) est un choix : plus il est élevé, plus il faut d'essais. Une seule défaillance pendant les essais change le calcul et exige encore plus d'essais pour conclure. Ce raisonnement est le même que celui des tests statistiques : un résultat observé rend une hypothèse peu vraisemblable.
4. Conclusion
1,5 min
Pour affirmer 99 % de fiabilité avec un risque de 5 %, il faut 299 essais sans défaillance, environ $\frac{3}{1 - r}$ 3/(1-r). Le logarithme résout l'inéquation $0, 9 9^{n} \leq 0, 05$ 0,99ⁿ≤0,05. Vingt essais réussis ne prouvent pas grand-chose. J'ouvre sur les tests statistiques, qui généralisent ce raisonnement.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

0, 9 9^{n} \leq 0, 05 ⟺ n ln 0, 99 \leq ln 0, 05 ⟺ n \geq \frac{ln 0 , 05}{ln 0 , 99} \approx 298, 1 \Rightarrow n = 299 0,99ⁿ\leq0,05\Leftrightarrow nln0,99\leqln0,05\Leftrightarrow n\geqln0,05/ln0,99\approx298,1\Rightarrow n=299 r = 0, 999 : n \geq 2995 n \approx \frac{3}{1 - r} (r \overset{e}{ˋ} gle de trois) r=0,999: n\geq2 995 n\approx3/(1-r) ( règle de trois )

Conclusion : la réponse à la question

Affirmer une fiabilité demande un nombre d'essais calculable : 299 pour 99 %, près de 3 000 pour 99,9 %. Le logarithme et la logique de l'invraisemblance donnent la juste mesure de ce que prouvent des essais réussis.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi l'inégalité change-t-elle de sens ?

On divise par $ln 0, 99$ ln0,99, qui est négatif.

Que vaut ln 0,05 ?

Environ −3,0.

Combien d'essais pour 95 % de fiabilité ?

$\frac{l n 0 , 05}{l n 0 , 95} \approx 58, 4$ ln0,05/ln0,95≈58,4 : 59 essais.

Que peut-on affirmer après 20 essais réussis ?

Une fiabilité d'environ 85 % au moins, avec un risque de 5 %.

Pourquoi supposer les essais indépendants ?

Pour multiplier les probabilités ; des pièces d'un même lot défectueux ne le seraient pas.

Les pièges qui coûtent des points

Conclure à une fiabilité de 100 % après quelques essais réussis.
Oublier d'inverser l'inégalité en divisant par un logarithme négatif.
Oublier d'arrondir à l'entier supérieur.

Revoir les notions

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