Question transversaleMathsSIMoteurs et électricité

Comment un chargeur de téléphone portable branché sur une batterie de 12 V peut-il produire une tension plus élevée ?

Un convertisseur élévateur idéal fournit Vₛ = Vₑ / (1 − α), où α est le rapport cyclique. Sous 12 V : α = 0,5 donne 24 V, α = 0,75 donne 48 V, α = 0,9 donne 120 V. La fonction a une asymptote en α = 1 : en pratique, les pertes limitent l'élévation à quelques fois la tension d'entrée.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Je me suis demandé comment une lampe torche alimentée par une seule pile de 1,5 V pouvait allumer une LED qui demande 3 V. En sciences de l'ingénieur, j'ai découvert les convertisseurs élévateurs, qui « pompent » l'énergie avec une bobine et un interrupteur rapide. Leur loi est une fonction que j'ai étudiée en mathématiques, avec une asymptote très parlante.

L'enjeu et les notions du programme

Établir une loi de conversion par un bilan de valeur moyenne, puis étudier une fonction homographique et sa limite.

Mathématiques

Fonctions homographiques, asymptote verticale (seconde, terminale)
Limite d'une fonction en un point (terminale)
Valeur moyenne, intégrale d'une fonction en escalier (terminale)

Sciences de l'ingénieur

Convertisseurs statiques : hacheur élévateur (terminale)
Rendement d'un convertisseur (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un convertisseur élévateur (« boost ») contient une bobine, un interrupteur commandé à haute fréquence et une diode. Il produit une tension continue supérieure à celle de la source. Problématique : quelle tension obtient-on, et jusqu'où peut-on l'élever ?
2. Mathématiques : un bilan de moyenne et une asymptote
4,5 min
Pendant une fraction $α$ α de la période, l'interrupteur est fermé : la bobine est soumise à $V_{e}$ Vₑ et son courant augmente. Pendant le reste, $(1 - α)$ (1-α), elle est soumise à $V_{e} - V_{s} < 0$ Vₑ-V_s<0 et son courant diminue.
En régime établi, le courant de la bobine revient à la même valeur à chaque période : la tension moyenne à ses bornes est nulle (l'intégrale de $L i^{'}$ L i' sur une période vaut $L (i (T) - i (0)) = 0$ L(i(T)-i(0))=0). D'où $α V_{e} + (1 - α) (V_{e} - V_{s}) = 0$ α Vₑ+(1-α)(Vₑ-V_s)=0, soit $V_{e} = (1 - α) V_{s}$ Vₑ=(1-α)V_s et $V_{s} = \frac{V _{e}}{1 - α}$ V_s=Vₑ/(1-α).
Valeurs sous 12 V : $α = 0, 25$ α=0,25 donne 16 V ; $0, 5$ 0,5 donne 24 V ; $0, 75$ 0,75 donne 48 V ; $0, 9$ 0,9 donne 120 V. La fonction $α \mapsto \frac{12}{1 - α}$ α↦12/(1-α) est croissante sur $[0; 1 [$ [0;1[ et $α \to 1^{-} lim \frac{12}{1 - α} = + \infty$ lim_α→1⁻12/(1-α)=+∞ : asymptote verticale en $α = 1$ α=1.
La puissance se conserve (aux pertes près) : si la tension est multipliée par $\frac{1}{1 - α}$ 1/(1-α), le courant d'entrée est multiplié par le même facteur par rapport au courant de sortie.
3. SI : les limites réelles
2,5 min
La formule idéale prédit une tension infinie quand $α$ α tend vers 1, mais les résistances de la bobine et de l'interrupteur créent des pertes qui croissent rapidement : la tension réelle passe par un maximum puis s'effondre. En pratique, on ne dépasse guère un facteur 4 à 5.
Ces convertisseurs sont partout : lampes torches, chargeurs, panneaux solaires (pour adapter la tension à la batterie), voitures électriques. Le rendement atteint 90 à 95 %, bien mieux qu'un transformateur classique à ces faibles puissances, qui d'ailleurs ne fonctionne pas en continu.
4. Conclusion
1,5 min
Un convertisseur élévateur suit la loi $V_{s} = \frac{V _{e}}{1 - α}$ V_s=Vₑ/(1-α), obtenue en écrivant que la tension moyenne aux bornes de la bobine est nulle. Son asymptote en $α = 1$ α=1 promet une élévation sans limite, que les pertes interdisent. J'ouvre sur le convertisseur abaisseur, de loi $V_{s} = α V_{e}$ V_s=α Vₑ, qui alimente les processeurs.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

α V_{e} + (1 - α) (V_{e} - V_{s}) = 0 \Rightarrow V_{s} = \frac{V _{e}}{1 - α} α Vₑ+(1-α)(Vₑ-V_s)=0 \Rightarrow V_s=Vₑ/(1-α) V_{e} = 12 V : α = 0, 5 \to 24 V 0, 75 \to 48 V 0, 9 \to 120 V α \to 1^{-} lim \frac{12}{1 - α} = + \infty Vₑ=12 V : α=0,5\to24 V 0,75\to48 V 0,9\to120 V lim_α\to1⁻12/(1-α)=+\infty

Conclusion : la réponse à la question

La loi d'un convertisseur se déduit d'un bilan de valeur moyenne, et son étude comme fonction révèle une asymptote. Le modèle idéal guide la conception, les pertes réelles fixent les limites.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Quel rapport cyclique pour passer de 12 V à 36 V ?

$\frac{12}{1 - α} = 36 ⟺ 1 - α = \frac{1}{3} ⟺ α = \frac{2}{3}$ 12/(1-α)=36⇔1-α=1/3⇔α=2/3.

Pourquoi la tension moyenne aux bornes de la bobine est-elle nulle ?

En régime établi, son courant revient à la même valeur à chaque période : l'intégrale de L i' sur une période est nulle.

Que vaut le courant d'entrée si la sortie fournit 1 A sous 24 V depuis 12 V ?

2 A, par conservation de la puissance (24 W).

Pourquoi la formule ne vaut-elle plus pour α proche de 1 ?

Les pertes résistives, négligées dans le modèle, deviennent prépondérantes.

Étudiez les variations de α ↦ 1/(1 − α) sur [0 ; 1[.

Sa dérivée $\frac{1}{( 1 - α ) ^{2}}$ 1/((1-α)²) est positive : la fonction est croissante.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que l'on peut élever la tension sans limite.
Oublier que la puissance se conserve, donc que le courant d'entrée augmente.
Confondre convertisseur élévateur et abaisseur.

Revoir les notions

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