Comment faire varier la vitesse d'un moteur en ne faisant qu'allumer et éteindre très vite son alimentation ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, j'ai piloté un petit moteur avec une carte Arduino. Je pensais devoir faire varier la tension, mais la carte ne sait sortir que 0 ou 5 V. Le professeur m'a montré la commande MLI : on allume et on éteint des milliers de fois par seconde. J'ai voulu comprendre pourquoi cela revient à une tension intermédiaire, et l'intégrale m'a donné la réponse.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer la valeur moyenne d'un signal périodique par une intégrale et justifier qu'un système lent répond à cette moyenne.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un microcontrôleur commande un transistor qui ne peut être que passant (12 V sur le moteur) ou bloqué (0 V). Problématique : comment obtenir une vitesse intermédiaire avec seulement deux états ?

2. 2. Mathématiques : la valeur moyenne

   4 min

   Sur chaque période $T$T, la tension vaut $U=12$U=12 V pendant $\alpha T$α T, puis 0 V pendant $(1-\alpha )T$(1-α)T. Le nombre $\alpha$α, entre 0 et 1, est le rapport cyclique.

   La valeur moyenne d'une fonction $u$u sur une période est $⟨u⟩=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}u(t)dt$langle urangle=1/T∫₀^(T)u(t) dt. Ici, l'intégrale est l'aire d'un rectangle de hauteur $U$U et de largeur $\alpha T$α T : ${\int }_0^{T}u(t)dt=U\alpha T$∫₀^(T)u(t) dt=Uα T. Donc $⟨u⟩=\alpha U$langle urangle=α U.

   Pour $\alpha =0,25$α=0,25 : 3 V ; pour $0,5$0,5 : 6 V ; pour $0,75$0,75 : 9 V. La moyenne est une fonction linéaire de $\alpha$α : on règle la tension moyenne aussi finement qu'on règle $\alpha$α. Avec un compteur sur 8 bits, on dispose de 256 valeurs de $\alpha$α, donc de 256 niveaux entre 0 et 12 V.

   Pourquoi le moteur « voit » la moyenne : son courant est lissé par son inductance et sa vitesse par son inertie, qui agissent comme des filtres de constante de temps bien plus grande que la période. Avec une fréquence de 20 kHz, la période vaut 50 µs, très petite devant les quelques millisecondes de réaction du moteur.

3. 3. SI : pourquoi pas une résistance ?

   3 min

   On pourrait réduire la tension avec une résistance en série, mais elle dissiperait en chaleur la différence de tension : pour obtenir 6 V sur 12, la moitié de la puissance serait perdue. En MLI, le transistor est soit bloqué (pas de courant), soit saturé (presque pas de tension) : il ne dissipe presque rien, et le rendement dépasse souvent 95 %.

   La fréquence est choisie au-dessus de 20 kHz pour que le sifflement du moteur soit inaudible. La même technique règle la luminosité des LED (l'œil fait la moyenne) et alimente les moteurs des trottinettes et des voitures électriques.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La MLI obtient une tension moyenne $\alpha U$α U, calculée par l'intégrale d'un signal rectangulaire, avec un rendement excellent. Le moteur, lent, ne réagit qu'à cette moyenne. J'ouvre sur les onduleurs, qui utilisent la MLI pour fabriquer une tension sinusoïdale à partir d'une batterie.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre valeur moyenne et valeur maximale.
• Croire que le moteur reçoit réellement une tension intermédiaire continue.
• Oublier que la MLI ne fonctionne bien que si le système est lent devant la période.

Revoir les notions

• Calcul intégral (Terminale spé maths) →
• Fonctions trigonométriques (Terminale spé maths) →

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