Pourquoi un moteur électrique ralentit-il quand on lui demande plus d'effort, et quand fournit-il le plus de puissance ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons freiné progressivement un petit moteur avec un dispositif de mesure. Sa vitesse baissait à mesure que le couple augmentait, et la puissance passait par un maximum. J'ai voulu modéliser ce comportement, et j'ai découvert qu'il se résume à une fonction affine et à une parabole, dont le sommet donne le meilleur point de fonctionnement en puissance.

L'enjeu et les notions du programme

Établir une relation affine entre deux grandeurs à partir des équations d'un moteur, puis maximiser un produit par l'étude d'un trinôme.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un moteur à courant continu est alimenté sous une tension $U$U. Il fournit un couple $C$C à une vitesse $\omega$ω. Problématique : comment la vitesse dépend-elle du couple demandé, et pour quel couple la puissance fournie est-elle maximale ?

2. 2. Mathématiques : une droite et une parabole

   4,5 min

   Deux équations décrivent le moteur : électrique, $U=RI+k\omega$U=RI+kω (résistance $R$R et force contre-électromotrice $k\omega$kω) ; mécanique, $C=kI$C=kI. En éliminant $I=\frac{C}{k}$I=C/k : $\omega =\frac{U}{k}-\frac{R}{k^2}C$ω=U/k-R/k²C. La vitesse est une fonction affine décroissante du couple.

   Avec $U=12$U=12 V, $R=2$R=2 Ω, $k=0,05$k=0,05 V·s/rad : à vide ($C=0$C=0), ${\omega }_0=\frac{12}{0,05}=240$ω₀=12/0,05=240 rad/s (environ 2 290 tr/min). Moteur bloqué ($\omega =0$ω=0) : $C_d=\frac{kU}{R}=0,3$C_d=kU/R=0,3 N·m, avec un courant $\frac{U}{R}=6$U/R=6 A.

   Puissance mécanique : $P=C\omega =C\left({\omega }_0-\frac{{\omega }_0}{C_d}C\right)={\omega }_{0}C-\frac{{\omega }_0}{C_d}{C}^2$P=Cω=C(ω₀-ω₀/C_dC)=ω₀C-ω₀/C_dC². C'est un trinôme en $C$C, nul en 0 et en $C_d$C_d, maximal au milieu : $C=\frac{C_d}{2}=0,15$C=C_d/2=0,15 N·m, $\omega =\frac{{\omega }_0}{2}=120$ω=ω₀/2=120 rad/s, $P_{\max }=\frac{C_d{\omega }_0}{4}=18$P_max=(C_d ω₀)/4=18 W.

   À ce point, le rendement n'est que de 50 % : la moitié de la puissance électrique, $UI=12\times 3=36$UI=12×3=36 W, est perdue par effet Joule.

3. 3. SI : choisir le point de fonctionnement

   2,5 min

   En pratique, on ne fait pas fonctionner un moteur à sa puissance maximale en continu : il chaufferait trop. On le choisit pour que le point de fonctionnement habituel soit proche de la vitesse à vide, là où le rendement est meilleur, et l'on ajoute un réducteur pour obtenir le couple voulu.

   La droite couple-vitesse explique aussi l'intérêt de l'asservissement : quand la charge augmente, la vitesse baisse ; un régulateur augmente alors la tension pour la rétablir. Le courant de démarrage, 6 A ici, est le plus élevé : il faut le prévoir dans le dimensionnement de l'alimentation.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La vitesse d'un moteur à courant continu décroît linéairement avec le couple, et sa puissance $C\omega$Cω est une parabole maximale à mi-couple : 18 W pour ce moteur. Une droite et un trinôme suffisent à le caractériser. J'ouvre sur le compromis entre puissance maximale et rendement maximal, qui ne sont pas atteints au même point.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre puissance électrique absorbée et puissance mécanique fournie.
• Oublier la force contre-électromotrice.
• Croire que puissance maximale et rendement maximal coïncident.

Revoir les notions

• Second degré (Première spé maths) →
• Fonctions affines (Seconde) →

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