Question transversaleMathsSICapteurs et mesures

Comment une alarme peut-elle détecter les intrus sans se déclencher sans cesse pour rien ?

Un capteur se trompe 1 fois sur 10 en l'absence d'intrus. Si l'alarme exige au moins 3 détections sur 5 mesures, la probabilité de fausse alarme tombe à 0,86 % (loi binomiale). Si le capteur détecte un intrus 9 fois sur 10, l'alarme se déclenche alors avec une probabilité de 99,1 %. Le vote améliore les deux à la fois.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

L'alarme d'un magasin de mon quartier se déclenchait régulièrement la nuit, sans raison, ce qui exaspérait les voisins. En sciences de l'ingénieur, j'ai étudié les détecteurs de présence, qui sont sensibles aux animaux ou aux courants d'air. J'ai découvert qu'en combinant plusieurs mesures par un vote, on réduit fortement les fausses alarmes, et la loi binomiale permet de le chiffrer.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la loi binomiale pour comparer des règles de décision et trouver un compromis entre fausses alarmes et détections manquées.

Mathématiques

Loi binomiale, calcul de P(X ≥ k) (première)
Épreuves indépendantes (première)
Probabilités conditionnelles (première)

Sciences de l'ingénieur

Capteurs de présence, chaîne d'information d'une alarme (première)
Fiabilité d'un système de détection (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un capteur infrarouge détecte les mouvements, mais réagit parfois à un courant d'air chaud. Problématique : comment décider de déclencher l'alarme pour limiter les fausses alarmes sans laisser passer les intrus ?
2. Mathématiques : un vote binomial
4 min
En l'absence d'intrus, chaque mesure donne une fausse détection avec la probabilité $p = 0, 1$ p=0,1. Si l'alarme se déclenche à la première détection, la probabilité de fausse alarme par cycle est 0,1.
Règle du vote : on fait 5 mesures indépendantes et l'on déclenche si au moins 3 sont positives. Le nombre $X$ X de détections suit la loi binomiale $B (5; 0, 1)$ mathcal B(5;0,1). $P (X \geq 3) = (3 5) (0, 1)^{3} (0, 9)^{2} + (4 5) (0, 1)^{4} (0, 9) + (0, 1)^{5} \approx 0, 0081 + 0, 00045 + 0, 00001 \approx 0, 0086$ P(X≥3)=binom53(0,1)³(0,9)²+binom54(0,1)⁴(0,9)+(0,1)⁵≈0,0081+0,00045+0,00001≈0,0086. Les fausses alarmes sont divisées par environ 12.
En présence d'un intrus, chaque mesure le détecte avec la probabilité $q = 0, 9$ q=0,9. Alors $X \sim B (5; 0, 9)$ X~mathcal B(5;0,9) et $P (X \geq 3) \approx 0, 991$ P(X≥3)≈0,991, contre 0,9 avec une seule mesure. Le vote améliore aussi la détection.
Par symétrie ( $0, 1$ 0,1 et $0, 9$ 0,9), les deux probabilités d'erreur valent 0,86 %. Exiger 4 détections sur 5 réduirait encore les fausses alarmes, mais laisserait passer plus d'intrus.
3. SI : le prix du vote
3 min
Les mesures prennent du temps : 5 mesures espacées de 0,2 s retardent l'alarme d'une seconde, ce qui est acceptable. L'hypothèse d'indépendance est essentielle : si une fausse détection vient d'un radiateur qui reste chaud, les mesures successives seront toutes fausses, et le vote n'aidera pas. On combine alors des capteurs de natures différentes (infrarouge et hyperfréquence), dont les causes d'erreur sont indépendantes.
Le choix du seuil dépend du coût de chaque erreur : une fausse alarme dérange, une intrusion non détectée coûte plus cher. On règle le système en conséquence.
4. Conclusion
1,5 min
Un vote « 3 sur 5 » fait passer les fausses alarmes de 10 % à 0,86 % et la détection de 90 % à 99,1 %, grâce à la loi binomiale et à l'indépendance des mesures. L'hypothèse d'indépendance guide le choix des capteurs. J'ouvre sur les systèmes à vote des avions, où trois calculateurs indépendants votent pour chaque décision.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

X \sim B (5; 0, 1) : P (X \geq 3) = (3 5) 0, 1^{3} 0, 9^{2} + (4 5) 0, 1^{4} 0, 9 + 0, 1^{5} \approx 0, 0086 X~mathcal B(5;0,1): P(X\geq3)=binom53 0,1³ 0,9²+binom54 0,1⁴ 0,9+0,1⁵\approx0,0086 X \sim B (5; 0, 9) : P (X \geq 3) \approx 0, 991 X~mathcal B(5;0,9): P(X\geq3)\approx0,991

Conclusion : la réponse à la question

Combiner plusieurs mesures indépendantes par un vote réduit à la fois les fausses alarmes et les détections manquées. La loi binomiale chiffre ce gain, à condition que les erreurs soient vraiment indépendantes.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez C(5, 3).

10.

Quelle est la probabilité de fausse alarme avec la règle « 2 sur 3 » ?

$3 \times 0, 01 \times 0, 9 + 0, 001 = 0, 028$ 3×0,01×0,9+0,001=0,028.

Pourquoi l'indépendance est-elle essentielle ?

Si une même cause provoque toutes les fausses détections, elles se produisent ensemble et le vote ne les filtre pas.

Que se passe-t-il si l'on exige 5 détections sur 5 ?

Les fausses alarmes deviennent très rares (10⁻⁵), mais la détection tombe à 0,9⁵ ≈ 59 %.

Pourquoi combiner des capteurs différents ?

Leurs causes d'erreur sont différentes, donc plus proches de l'indépendance.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier les cas X = 4 et X = 5 dans P(X ≥ 3).
Supposer l'indépendance sans la discuter.
Ne regarder que les fausses alarmes sans les détections manquées.

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