Pourquoi les CD audio enregistrent-ils le son 44 100 fois par seconde ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons numérisé un signal avec une carte d'acquisition, et le professeur nous a demandé de choisir la fréquence d'échantillonnage. J'ai d'abord pris une valeur trop faible, et la courbe obtenue avait une fréquence complètement différente du signal réel. J'ai voulu comprendre ce phénomène, appelé repliement, et pourquoi le CD a choisi 44 100 Hz.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier l'échantillonnage d'une fonction sinusoïdale et montrer, par la périodicité du cosinus, que deux fréquences différentes peuvent donner les mêmes échantillons.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Numériser un son, c'est mesurer sa valeur à intervalles réguliers $T_e$Tₑ : on obtient une suite d'échantillons. Problématique : à quelle fréquence $f_e=\frac{1}{T_e}$fₑ=1/Tₑ faut-il mesurer pour pouvoir reconstituer le son ?

2. 2. Mathématiques : deux sinusoïdes, mêmes échantillons

   4 min

   Un son pur de fréquence $f$f s'écrit $s(t)=\cos (2\pi ft)$s(t)=cos(2π ft). Ses échantillons sont $u_n=\cos \left(2\pi \frac{f}{f_e}n\right)$uₙ=cos(2pif/fₑn).

   Prenons $f^{\prime }=f_e-f$f'=fₑ-f. Alors $\cos \left(2\pi \frac{f^{\prime }}{f_e}n\right)=\cos \left(2\pi n-2\pi \frac{f}{f_e}n\right)=\cos \left(2\pi \frac{f}{f_e}n\right)$cos(2pif'/fₑn)=cos(2π n-2pif/fₑn)=cos(2pif/fₑn), par périodicité et parité du cosinus. Les deux sons donnent exactement les mêmes échantillons : impossible de les distinguer après numérisation.

   Exemple : avec $f_e=44100$fₑ=44 100 Hz, un son de 30 000 Hz donne les mêmes échantillons qu'un son de $44100-30000=14100$44 100-30 000=14 100 Hz, parfaitement audible. C'est le repliement de spectre.

   Pour éviter toute confusion, chaque fréquence utile doit être inférieure à $\frac{f_e}{2}$fₑ/2 (la fréquence de Nyquist) : alors $f^{\prime }=f_e-f>\frac{f_e}{2}$f'=fₑ-f>fₑ/2 n'appartient pas à la plage utile. C'est le théorème de Shannon : $f_e>2f_{\max }$fₑ>2f_max.

3. 3. SI : le choix du CD et le filtre

   3 min

   L'oreille humaine entend jusqu'à environ 20 kHz : il faut $f_e>40$fₑ>40 kHz. Le CD a retenu 44,1 kHz, ce qui laisse une marge pour le filtre « anti-repliement » placé avant la conversion : il supprime les fréquences supérieures à 20 kHz, qui sinon se replieraient dans la plage audible.

   Le téléphone, qui ne transmet que la voix jusqu'à environ 3,4 kHz, échantillonne à 8 kHz. Un appareil de mesure doit, de même, échantillonner à plus du double de la fréquence la plus élevée du phénomène observé, sinon les courbes affichées sont fausses.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Il faut échantillonner plus de deux fois plus vite que la fréquence la plus haute : sinon, par périodicité du cosinus, une fréquence $f$f se confond avec $f_e-f$fₑ-f. Pour 20 kHz audibles, le CD prend 44 100 échantillons par seconde. J'ouvre sur l'autre étape de la numérisation : la quantification, qui arrondit chaque échantillon.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire qu'échantillonner à exactement 2f_max suffit.
• Oublier le filtre anti-repliement.
• Confondre fréquence d'échantillonnage et fréquence du signal.

Revoir les notions

• Fonctions trigonométriques (Terminale spé maths) →
• Trigonométrie (Première spé maths) →

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