Question transversaleMathsSISignaux et numérisation

Comment un capteur embarqué peut-il filtrer une mesure en ne gardant qu'un seul nombre en mémoire ?

Q: Vérifiez que la somme des poids vaut 1.

$(1-a)Σ_k≥0a^(k)=(1-a)×1/(1-a)=1$ pour $0<a<1$.

Q: Et pour a très proche de 1 ?

Le filtre devient très lent : il moyenne beaucoup de mesures et réagit tardivement.

Q: Combien de pas pour que la sortie atteigne 95 % d'un échelon avec a = 0,9 ?

$0,9ⁿ⁺¹≤0,05⇔ n+1≥ln0,05/ln0,9≈28,4$ : environ 28 pas.

Q: Pourquoi « exponentiel » ?

Les poids $a^(k)=e^(kln a)$ décroissent exponentiellement avec l'âge de la mesure.

Le filtre yₙ = a yₙ₋₁ + (1 − a) xₙ donne aux mesures passées des poids (1 − a)aᵏ qui décroissent géométriquement : avec a = 0,9, la dernière pèse 10 %, la précédente 9 %, puis 8,1 %… Ces poids ont pour somme 1, et la « mémoire » du filtre est d'environ 1/(1 − a) = 10 mesures.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En programmant un petit robot en sciences de l'ingénieur, je manquais de mémoire pour garder beaucoup de mesures et faire une moyenne. Le professeur m'a montré une formule d'une ligne qui ne garde qu'une seule valeur et filtre pourtant le bruit. En l'étudiant, j'ai découvert qu'elle cache une suite géométrique et une somme infinie.

L'enjeu et les notions du programme

Développer une relation de récurrence pour faire apparaître des poids géométriques et calculer leur somme et la mémoire du filtre.

Mathématiques

Suites définies par récurrence (première)
Suites géométriques, somme des termes et limite (première, terminale)
Moyenne pondérée (seconde)

Sciences de l'ingénieur

Filtrage numérique, filtre passe-bas (terminale)
Programmation embarquée, contraintes de mémoire (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
À chaque nouvelle mesure $x_{n}$ xₙ, on met à jour la valeur filtrée par $y_{n} = a y_{n - 1} + (1 - a) x_{n}$ yₙ=a yₙ₋₁+(1-a) xₙ, avec $0 < a < 1$ 0<a<1. Problématique : quelle moyenne cette formule calcule-t-elle, et comment choisir $a$ a ?
2. Mathématiques : des poids géométriques
4 min
En remplaçant $y_{n - 1}$ yₙ₋₁ par sa propre expression, puis $y_{n - 2}$ yₙ₋₂, etc. : $y_{n} = (1 - a) x_{n} + (1 - a) a x_{n - 1} + (1 - a) a^{2} x_{n - 2} + \dots$ yₙ=(1-a)xₙ+(1-a)a xₙ₋₁+(1-a)a²xₙ₋₂+…. La mesure d'il y a $k$ k pas a le poids $(1 - a) a^{k}$ (1-a)a^(k) : les poids forment une suite géométrique de raison $a$ a.
Avec $a = 0, 9$ a=0,9 : 0,1 ; 0,09 ; 0,081 ; 0,0729… Leur somme vaut $(1 - a) (1 + a + a^{2} + \dots) = (1 - a) \times \frac{1}{1 - a} = 1$ (1-a)(1+a+a²+…)=(1-a)×1/(1-a)=1 : c'est une vraie moyenne pondérée, qui privilégie les mesures récentes.
Mémoire : le poids d'une mesure est divisé par $e$ e au bout de $- \frac{1}{l n a}$ -1/(ln a) pas, environ 9,5 pas pour $a = 0, 9$ a=0,9. L'âge moyen des mesures prises en compte, pondéré par leurs poids, vaut $\frac{a}{1 - a} = 9$ a/(1-a)=9, et l'on retient souvent $\frac{1}{1 - a} = 10$ 1/(1-a)=10 mesures comme « fenêtre » équivalente.
Réponse à un échelon : si $x_{n} = E$ xₙ=E à partir de $n = 0$ n=0 et $y_{- 1} = 0$ y₋₁=0, alors $E - y_{n} = a^{n + 1} E$ E-yₙ=aⁿ⁺¹E : la sortie s'approche de $E$ E géométriquement, comme un système du premier ordre.
3. SI : un filtre passe-bas économe
3 min
Ce filtre est la version numérique du filtre RC : il laisse passer les variations lentes et atténue les variations rapides (le bruit). Un $a$ a proche de 1 filtre fortement mais réagit lentement ; un $a$ a petit réagit vite mais filtre peu.
Il ne demande qu'une multiplication, une addition et une seule case mémoire : idéal pour un microcontrôleur. Avec $a = 1 - 2^{- k}$ a=1-2^(-k), la multiplication se remplace même par un décalage de bits. On l'utilise pour lisser des capteurs de température, des accéléromètres, ou la mesure de charge d'une batterie.
4. Conclusion
1,5 min
Le lissage exponentiel est une moyenne pondérée par une suite géométrique : les poids $(1 - a) a^{k}$ (1-a)a^(k) ont pour somme 1, et la mémoire est d'environ $\frac{1}{1 - a}$ 1/(1-a) mesures. Une seule variable suffit pour filtrer. J'ouvre sur le choix de $a$ a à partir de la constante de temps voulue, qui relie ce filtre aux équations différentielles.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

y_{n} = a y_{n - 1} + (1 - a) x_{n} = k \geq 0 \sum (1 - a) a^{k} x_{n - k} yₙ=a yₙ₋₁+(1-a) xₙ=Σ_k\geq0(1-a)a^(k) xₙ₋ₖ a = 0, 9 : 0, 1; 0, 09; 0, 081; \dots \sum (1 - a) a^{k} = 1 fen \overset{e}{ˆ} tre \approx \frac{1}{1 - a} = 10 a=0,9: 0,1; 0,09; 0,081;\dots Σ(1-a)a^(k)=1 fenêtre \approx1/(1-a)=10

Conclusion : la réponse à la question

Une relation de récurrence d'une ligne cache une moyenne sur tout le passé, pondérée par une suite géométrique. Les mathématiques en donnent la mémoire et la vitesse de réaction, et l'ingénieur choisit a.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez que la somme des poids vaut 1.

$(1 - a) \sum_{k \geq 0} a^{k} = (1 - a) \times \frac{1}{1 - a} = 1$ (1-a)Σ_k≥0a^(k)=(1-a)×1/(1-a)=1 pour $0 < a < 1$ 0<a<1.

Que se passe-t-il pour a = 0 ?

y_n = x_n : aucun filtrage.

Et pour a très proche de 1 ?

Le filtre devient très lent : il moyenne beaucoup de mesures et réagit tardivement.

Combien de pas pour que la sortie atteigne 95 % d'un échelon avec a = 0,9 ?

$0, 9^{n + 1} \leq 0, 05 ⟺ n + 1 \geq \frac{l n 0 , 05}{l n 0 , 9} \approx 28, 4$ 0,9ⁿ⁺¹≤0,05⇔ n+1≥ln0,05/ln0,9≈28,4 : environ 28 pas.

Pourquoi « exponentiel » ?

Les poids $a^{k} = e^{k l n a}$ a^(k)=e^(kln a) décroissent exponentiellement avec l'âge de la mesure.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que le filtre oublie complètement les anciennes mesures : leur poids devient seulement très petit.
Inverser a et 1 − a dans la formule.
Oublier le retard introduit par le filtre.

Revoir les notions

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