Comment lisser une mesure bruitée sans la déformer ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons mesuré une distance avec un capteur à ultrasons, et les valeurs affichées sautaient sans arrêt de quelques centimètres. Le professeur nous a proposé de faire une moyenne sur plusieurs mesures. Le résultat était plus stable, mais réagissait en retard quand l'objet bougeait. J'ai voulu quantifier ces deux effets.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer la variance d'une moyenne de variables indépendantes et le retard introduit par un filtre, pour choisir un compromis.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une mesure $x_k$xₖ se compose de la vraie valeur et d'un bruit aléatoire d'écart type $\sigma$σ. La moyenne glissante remplace $x_k$xₖ par la moyenne des $n$n dernières mesures. Problématique : de combien réduit-elle le bruit, et à quel prix ?

2. 2. Mathématiques : variance et retard

   4 min

   Si les bruits $B_1,\dots ,B_n$B₁,…,Bₙ sont indépendants, de variance ${\sigma }^2$σ², la variance de leur somme est $n{\sigma }^2$nσ², donc celle de leur moyenne est $\frac{n{\sigma }^2}{n^2}=\frac{{\sigma }^2}{n}$nσ²/n²=σ²/n. L'écart type de la moyenne vaut $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$fracσ √n.

   Avec $\sigma =2$σ=2 cm : $n=4$n=4 donne 1 cm, $n=16$n=16 donne 0,5 cm, $n=100$n=100 donne 0,2 cm. Pour diviser le bruit par 10, il faut 100 mesures.

   Le prix : si l'objet s'éloigne à vitesse constante, la vraie valeur augmente de $v$v à chaque mesure (suite arithmétique). La moyenne des $n$n dernières vaut la valeur prise $\frac{n-1}{2}$(n-1)/2 mesures plus tôt : $\frac{x_k+x_{k-1}+\cdots +x_{k-n+1}}{n}=x_k-\frac{n-1}{2}v$(xₖ+xₖ₋₁+…+xₖ₋ₙ₊₁)/n=xₖ-(n-1)/2v. Le filtre est en retard de $\frac{n-1}{2}$(n-1)/2 périodes. Avec 16 mesures à 20 par seconde, un retard d'environ 0,375 s.

3. 3. SI : régler le filtre

   3 min

   Le choix de $n$n est un compromis : un grand $n$n donne une mesure stable mais lente, un petit $n$n une mesure réactive mais bruitée. Pour un affichage, la stabilité prime ; pour une régulation, le retard peut rendre la boucle instable.

   En programmation embarquée, on garde les $n$n dernières mesures dans un tableau circulaire et on met à jour la somme en ajoutant la nouvelle valeur et en retirant la plus ancienne : un coût constant par mesure. Si le bruit contient des valeurs aberrantes (échos parasites), la médiane des dernières mesures est plus robuste que la moyenne.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Une moyenne glissante sur $n$n mesures divise le bruit par $\sqrt{n}$√n mais retarde la mesure de $\frac{n-1}{2}$(n-1)/2 périodes. La variance d'une moyenne et une suite arithmétique quantifient le compromis. J'ouvre sur le lissage exponentiel, qui obtient un effet comparable avec une seule variable en mémoire.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire que le bruit est divisé par n et non par √n.
• Oublier le retard introduit par le filtre.
• Supposer les bruits indépendants sans le dire.

Revoir les notions

• Concentration et loi des grands nombres (Terminale spé maths) →
• Suites arithmétiques et géométriques (Première spé maths) →

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