Question transversaleMathsSISignaux et numérisation

Relier les points d'un signal numérisé par des segments : quelle erreur commet-on ?

Q: Dérivez deux fois sin(ωt).

$ωcos(ω t)$, puis $-ω²sin(ω t)$.

Q: Combien de points par période donnent une erreur inférieure à 1 % ?

$1/8(2π/N)² 2π/√(0,08)≈22,2$ : au moins 23 points.

Entre deux échantillons distants de h, l'erreur de l'interpolation linéaire est au plus h²/8 fois le maximum de |f''|. Pour une sinusoïde de 1 kHz échantillonnée à 8 kHz, cela fait jusqu'à 7,7 % de l'amplitude ; à 44,1 kHz, 0,25 %. La courbure, mesurée par la dérivée seconde, gouverne l'erreur.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En traçant dans un tableur un signal sinusoïdal échantillonné, j'ai vu que la courbe obtenue en reliant les points par des segments était anguleuse et passait sous les sommets. En sciences de l'ingénieur, on reconstruit souvent un signal de cette façon. J'ai voulu savoir combien l'on perd, et j'ai découvert que la réponse dépend de la convexité, étudiée en terminale.

L'enjeu et les notions du programme

Majorer l'erreur d'une approximation affine par morceaux à l'aide de la dérivée seconde et l'appliquer au choix d'une fréquence d'échantillonnage.

Mathématiques

Convexité, dérivée seconde, position d'une courbe par rapport à ses cordes (terminale)
Second degré : maximum d'un trinôme (première)
Dérivées des fonctions trigonométriques (terminale)

Sciences de l'ingénieur

Conversion numérique-analogique, reconstruction d'un signal (terminale)
Choix de la fréquence d'échantillonnage (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Pour estimer un signal entre deux échantillons, on trace le segment qui les relie : c'est l'interpolation linéaire. Problématique : quelle est l'erreur maximale, et de quoi dépend-elle ?
2. Mathématiques : la courbure fixe l'erreur
4,5 min
Sur un intervalle $[a; a + h]$ [a;a+h], on compare $f$ f à la corde qui relie ses extrémités. Pour une parabole $f (x) = \frac{M}{2} x^{2}$ f(x)=M/2x², de dérivée seconde constante $M$ M, l'écart entre la corde et la courbe au milieu vaut $\frac{M}{2} (\frac{a ^{2} + ( a + h ) ^{2}}{2} - (a + \frac{h}{2})^{2}) = \frac{M h ^{2}}{8}$ M/2((a²+(a+h)²)/2-(a+h/2)²)=Mh²/8. L'écart en un point quelconque est un trinôme en $x$ x, maximal au milieu.
On admet le cas général : si $∣ f^{''} ∣ \leq M$ |f''|≤ M sur l'intervalle, l'erreur d'interpolation linéaire est au plus $\frac{M h ^{2}}{8}$ Mh²/8. Une fonction convexe est toujours sous ses cordes : l'interpolation la surestime.
Pour $f (t) = sin (2 π F t)$ f(t)=sin(2π Ft), $f^{''} (t) = - (2 π F)^{2} sin (2 π F t)$ f''(t)=-(2π F)²sin(2π Ft), donc $M = (2 π F)^{2}$ M=(2π F)². Avec $h = \frac{1}{f _{e}}$ h=1/fₑ : erreur $\leq \frac{1}{8} (\frac{2 π F}{f _{e}})^{2}$ ≤1/8((2π F)/fₑ)². Pour $F = 1$ F=1 kHz et $f_{e} = 8$ fₑ=8 kHz : environ $0, 077$ 0,077, soit 7,7 % de l'amplitude. À $f_{e} = 44, 1$ fₑ=44,1 kHz : environ $0, 25 %$ 0,25 %. Diviser le pas par 2 divise l'erreur par 4.
3. SI : reconstruire un signal
2,5 min
Un convertisseur numérique-analogique maintient en général chaque valeur jusqu'à la suivante (« marches d'escalier »), puis un filtre lisse le résultat. L'interpolation linéaire est une première amélioration, utilisée dans les synthétiseurs ou pour afficher des courbes.
Le calcul montre qu'il ne suffit pas de respecter Shannon ( $f_{e} > 2 F$ fₑ>2F) pour obtenir une bonne reconstruction par segments : avec seulement 8 points par période, l'erreur reste visible. Les systèmes audio utilisent un suréchantillonnage et des filtres numériques, plus précis que les segments.
4. Conclusion
1,5 min
L'erreur de l'interpolation linéaire est au plus $\frac{M h ^{2}}{8}$ Mh²/8 : elle dépend de la courbure du signal et du carré du pas. Pour une sinusoïde, elle se calcule avec sa dérivée seconde. J'ouvre sur l'interpolation par polynômes de degré plus élevé, plus précise mais parfois instable.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

∣ f^{''} ∣ \leq M \Rightarrow ∣ f - corde ∣ \leq \frac{M h ^{2}}{8} f (x) = \frac{M}{2} x^{2} : \overset{e}{ˊ} cart au milieu = \frac{M h ^{2}}{8} |f''|\leq M \Rightarrow |f- corde |leqMh²/8 f(x)=M/2x²: écart au milieu =Mh²/8 sin (2 π F t) : M = (2 π F)^{2} \frac{1}{8} (\frac{2 π \times 1000}{8000})^{2} \approx 0, 077 f_{e} = 44, 1 kHz : \approx 0, 0025 sin(2π Ft): M=(2π F)² 1/8(2π\times1000/8000)²\approx0,077 fₑ=44,1 kHz : \approx0,0025

Conclusion : la réponse à la question

Relier les points d'un signal par des segments commet une erreur proportionnelle à sa courbure et au carré du pas. La dérivée seconde, outil de la convexité, dimensionne la reconstruction des signaux.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Dérivez deux fois sin(ωt).

$ω cos (ω t)$ ωcos(ω t), puis $- ω^{2} sin (ω t)$ -ω²sin(ω t).

Pourquoi l'erreur est-elle nulle pour une fonction affine ?

Sa dérivée seconde est nulle : la courbe est déjà un segment.

Que devient l'erreur si l'on double la fréquence d'échantillonnage ?

Elle est divisée par 4, car elle dépend de h².

Une fonction convexe est-elle au-dessus ou au-dessous de ses cordes ?

Au-dessous : l'interpolation linéaire la surestime.

Combien de points par période donnent une erreur inférieure à 1 % ?

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{N})^{2} < 0, 01 ⟺ N > \frac{2 π}{0 , 08} \approx 22, 2$ 1/8(2π/N)²<0,01⇔ N>2π/√(0,08)≈22,2 : au moins 23 points.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que respecter Shannon suffit à une bonne reconstruction par segments.
Oublier le carré du pas.
Confondre dérivée et dérivée seconde.

Revoir les notions

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