Question transversaleMathsSICapteurs et mesures

Comment connaître le volume de fioul dans une cuve cylindrique couchée à partir de la hauteur mesurée ?

Dans une cuve cylindrique couchée de rayon R, le volume n'est pas proportionnel à la hauteur h. La surface mouillée vaut R² arccos((R − h)/R) − (R − h)√(2Rh − h²). Pour R = 1 m, une hauteur de 0,5 m (un quart du diamètre) ne correspond qu'à 19,6 % du volume, et 1,5 m à 80,4 %.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Chez mes grands-parents, une cuve de fioul couchée dans le jardin est équipée d'une jauge qui mesure la hauteur du liquide. Je me suis demandé comment convertir cette hauteur en litres, puisque la cuve est ronde. En sciences de l'ingénieur, nous avons étudié la conversion d'une grandeur mesurée en grandeur utile. J'ai découvert que la réponse fait intervenir l'aire d'un segment de disque et la trigonométrie.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer l'aire d'un segment de disque avec la trigonométrie et étudier la fonction non linéaire qui relie la hauteur au volume.

Mathématiques

Trigonométrie : cosinus, angle au centre, radian (première)
Aire d'un secteur et d'un triangle (seconde)
Fonction non linéaire, symétrie d'une courbe (seconde)

Sciences de l'ingénieur

Capteurs de niveau, conversion de la mesure (première, terminale)
Traitement de l'information : table de conversion (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Une cuve est un cylindre couché de rayon $R$ R et de longueur $L$ L. Un capteur mesure la hauteur $h$ h de liquide. Problématique : quel volume correspond à une hauteur donnée, et pourquoi la relation n'est-elle pas proportionnelle ?
2. Mathématiques : l'aire d'un segment de disque
4,5 min
Le volume vaut $L$ L fois l'aire mouillée de la section, un segment de disque. On note $d = R - h$ d=R-h la distance du centre à la surface du liquide (pour $h \leq R$ h≤ R). Les extrémités de la surface sont vues depuis le centre sous un angle $2 α$ 2α, avec $cos α = \frac{d}{R}$ cosα=d/R.
L'aire du segment est l'aire du secteur moins celle du triangle : secteur d'angle $2 α$ 2α : $R^{2} α$ R²α ; triangle : $d R^{2} - d^{2}$ d√(R²-d²), et $R^{2} - d^{2} = 2 R h - h^{2}$ R²-d²=2Rh-h². D'où $A (h) = R^{2} arccos \frac{R - h}{R} - (R - h) 2 R h - h^{2}$ A(h)=R²arccos(R-h)/R-(R-h)√(2Rh-h²). La formule reste valable pour $h > R$ h>R.
Pour $R = 1$ R=1 m (aire totale $π \approx 3, 14$ π≈3,14 m²) : à $h = 0, 5$ h=0,5 m, $cos α = 0, 5$ cosα=0,5, $α = \frac{π}{3}$ α=fracπ3, $A = \frac{π}{3} - 0, 5 \times \frac{3}{2} \approx 0, 614$ A=fracπ3-0,5×sqrt3/2≈0,614, soit 19,6 % du disque. À $h = 1$ h=1 : 50 %. À $h = 1, 5$ h=1,5 : 80,4 %, par symétrie ( $100 - 19, 6$ 100-19,6).
La courbe volume-hauteur est en S : faible pente près du fond et du haut (la cuve est étroite), forte pente au milieu (elle est la plus large).
3. SI : de la mesure au litre
2,5 min
Le capteur (flotteur, pression ou ultrasons) fournit $h$ h. Le microcontrôleur applique la formule, ou plus simplement interpole dans une table de correspondance calculée une fois pour toutes. Les fabricants fournissent ces « barèmes de jaugeage » pour chaque modèle de cuve.
La sensibilité varie : au milieu de la cuve, 1 cm de hauteur correspond à beaucoup de litres ; près du fond, à peu de litres. Une erreur de mesure de hauteur pèse donc plus au milieu. Pour une cuve de 2 m de diamètre et 2 m de long, 1 cm au milieu représente environ $2 \times 2 \times 0, 01 = 0, 04$ 2×2×0,01=0,04 m³, soit 40 litres.
4. Conclusion
1,5 min
Le volume d'une cuve couchée se calcule par l'aire d'un segment de disque : un quart de la hauteur ne donne que 19,6 % du volume. La trigonométrie transforme la mesure de hauteur en litres. J'ouvre sur les cuves sphériques des usines, dont le volume se calcule par une intégrale.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

A(h)=R²arccos(R-h)/R-(R-h)√(2Rh-h²)R=1: h=0,5⇒fracπ3-sqrt3/4≈0,614 (19,6 %) h=1: 50 % h=1,5: 80,4 %

Conclusion : la réponse à la question

La relation entre hauteur et volume d'une cuve couchée n'est pas proportionnelle : elle passe par l'aire d'un segment de disque. La trigonométrie permet de jauger correctement, et d'estimer la sensibilité de la mesure.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez l'aire d'un secteur d'angle 2α dans un disque de rayon R.

$\frac{2 α}{2 π} \times π R^{2} = R^{2} α$ 2α/2π×π R²=R²α.

Pourquoi le résultat est-il symétrique autour de h = R ?

La partie vide au-dessus du liquide est un segment de même forme que la partie pleine en dessous.

Que vaut arccos(0,5) ?

$\frac{π}{3}$ fracπ3.

Où la mesure est-elle la plus sensible en litres par centimètre ?

Au milieu, où la largeur de la surface du liquide est maximale (le diamètre).

Que serait la relation pour une cuve verticale ?

Proportionnelle : volume = section × hauteur.

Les pièges qui coûtent des points

Supposer le volume proportionnel à la hauteur.
Oublier de retrancher le triangle au secteur.
Utiliser l'angle en degrés dans la formule de l'aire du secteur.

Revoir les notions

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