Question transversaleMathsSIFiabilité et maintenance

Pourquoi les avions et les fusées utilisent-ils trois calculateurs qui votent, plutôt qu'un seul ?

Q: Calculez R pour r = 0,9.

$3×0,81-2×0,729=2,43-1,458=0,972$.

Q: Factorisez 2r² − 3r + 1.

$(2r-1)(r-1)$, racines $1/2$ et 1.

Q: Que vaut R pour r = 0,5 ?

$3×0,25-2×0,125=0,5$ : aucun gain.

Avec trois calculateurs indépendants de fiabilité r, le vote majoritaire donne le bon résultat si au moins deux fonctionnent : R = 3r² − 2r³. Pour r = 0,99, R ≈ 0,9997 : la probabilité d'échec passe de 1 % à 0,03 %. Mais si r < 0,5, le vote est moins fiable qu'un seul calculateur.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai appris que la navette spatiale américaine embarquait plusieurs ordinateurs qui calculaient la même chose et votaient. Je me suis demandé pourquoi trois et non deux : avec deux calculateurs en désaccord, on ne sait pas lequel croire. En sciences de l'ingénieur, nous avons étudié la redondance avec vote, et la loi binomiale m'a permis d'en mesurer l'intérêt et la limite.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer la fiabilité d'un vote majoritaire avec la loi binomiale et comparer deux fonctions de r sur [0 ; 1] par une étude de signe.

Mathématiques

Loi binomiale (première)
Étude de signe d'un polynôme, factorisation (première)
Comparaison de fonctions (seconde)

Sciences de l'ingénieur

Sûreté de fonctionnement, architecture à vote (terminale)
Systèmes embarqués critiques (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Trois calculateurs identiques et indépendants reçoivent les mêmes données ; un circuit de vote retient le résultat donné par au moins deux d'entre eux. Problématique : de combien ce montage améliore-t-il la fiabilité, et dans quelles conditions ?
2. Mathématiques : loi binomiale et étude de signe
4 min
Chaque calculateur fonctionne avec la probabilité $r$ r, indépendamment. Le nombre $X$ X de calculateurs qui fonctionnent suit la loi binomiale $B (3; r)$ mathcal B(3;r). Le vote réussit si $X \geq 2$ X≥2 : $R = (2 3) r^{2} (1 - r) + r^{3} = 3 r^{2} - 2 r^{3}$ R=binom32r²(1-r)+r³=3r²-2r³.
Pour $r = 0, 99$ r=0,99 : $R \approx 0, 9997$ R≈0,9997. La probabilité d'échec passe de 1 % à environ 0,03 %, plus de 30 fois moins. Pour $r = 0, 9$ r=0,9 : $R = 0, 972$ R=0,972.
Comparaison avec un seul calculateur : $R - r = 3 r^{2} - 2 r^{3} - r = - r (2 r^{2} - 3 r + 1) = - r (2 r - 1) (r - 1)$ R-r=3r²-2r³-r=-r(2r²-3r+1)=-r(2r-1)(r-1). Sur $] 0; 1 [$ ]0;1[, $- r < 0$ -r<0 et $r - 1 < 0$ r-1<0, donc le signe est celui de $2 r - 1$ 2r-1. Le vote est meilleur si $r > \frac{1}{2}$ r>1/2, moins bon si $r < \frac{1}{2}$ r<1/2, identique si $r = \frac{1}{2}$ r=1/2.
Explication : le vote amplifie la tendance majoritaire. Avec des éléments plutôt fiables, il les rend encore plus fiables ; avec des éléments plutôt défaillants, il aggrave les choses.
3. SI : le vote en pratique
3 min
Avec deux calculateurs, on peut détecter une panne (désaccord) mais pas la corriger : il faut s'arrêter dans un état sûr. Avec trois, on la masque et le système continue. Les avions de ligne combinent plusieurs calculateurs, parfois conçus par des équipes différentes avec des logiciels différents, pour éviter une erreur commune.
Le circuit de vote devient lui-même un point unique de défaillance : on le conçoit très simple, ou on le duplique. Ce principe, appelé redondance modulaire triple, est aussi utilisé dans les satellites, exposés aux rayonnements qui peuvent inverser des bits.
4. Conclusion
1,5 min
Trois calculateurs qui votent donnent une fiabilité $3 r^{2} - 2 r^{3}$ 3r²-2r³ : 99,97 % avec des éléments à 99 %. Le vote n'est avantageux que si $r > \frac{1}{2}$ r>1/2, comme le montre la factorisation de $R - r$ R-r. J'ouvre sur les erreurs de logiciel, qu'un vote entre copies identiques ne corrige pas.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

X \sim B (3; r) : R = P (X \geq 2) = 3 r^{2} (1 - r) + r^{3} = 3 r^{2} - 2 r^{3} X~mathcal B(3;r): R=P(X\geq2)=3r²(1-r)+r³=3r²-2r³ R - r = - r (2 r - 1) (r - 1) > 0 ⟺ r > \frac{1}{2} r = 0, 99 : R \approx 0, 9997 R-r=-r(2r-1)(r-1)>0\Leftrightarrow r>1/2 r=0,99: R\approx0,9997

Conclusion : la réponse à la question

Le vote majoritaire transforme des éléments fiables en un système bien plus fiable, mais seulement au-dessus de 50 % de fiabilité. La loi binomiale et une étude de signe le démontrent.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez R pour r = 0,9.

$3 \times 0, 81 - 2 \times 0, 729 = 2, 43 - 1, 458 = 0, 972$ 3×0,81-2×0,729=2,43-1,458=0,972.

Factorisez 2r² − 3r + 1.

$(2 r - 1) (r - 1)$ (2r-1)(r-1), racines $\frac{1}{2}$ 1/2 et 1.

Pourquoi trois et pas deux calculateurs ?

Avec deux, un désaccord ne permet pas de savoir lequel a raison ; avec trois, la majorité tranche.

Le vote corrige-t-il une erreur de programmation ?

Non si les trois calculateurs exécutent le même logiciel : ils font la même erreur.

Que vaut R pour r = 0,5 ?

$3 \times 0, 25 - 2 \times 0, 125 = 0, 5$ 3×0,25-2×0,125=0,5 : aucun gain.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le cas où les trois calculateurs fonctionnent.
Croire que le vote améliore toujours la fiabilité.
Négliger les erreurs de mode commun.

Revoir les notions

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