Pourquoi les réseaux électriques et les gros moteurs utilisent-ils trois phases ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En regardant le tableau électrique d'un atelier, j'ai remarqué que certaines machines étaient alimentées par quatre ou cinq fils au lieu de deux. On m'a expliqué que c'était du « triphasé ». En sciences de l'ingénieur, j'ai découvert que trois sinusoïdes décalées ont des propriétés remarquables, que l'on démontre avec les formules de trigonométrie de première.

L'enjeu et les notions du programme

Démontrer avec les formules d'addition qu'une somme de trois sinusoïdes déphasées est nulle et que la puissance totale est constante.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un réseau triphasé fournit trois tensions sinusoïdales de même amplitude et de même fréquence, décalées d'un tiers de période. Problématique : quels avantages ce décalage apporte-t-il par rapport à une seule phase ?

2. 2. Mathématiques : une somme nulle et une puissance constante

   4,5 min

   Les tensions s'écrivent $u_1=U\cos \theta$u₁=Ucosθ, $u_2=U\cos \left(\theta -\frac{2\pi }{3}\right)$u₂=Ucos(θ-2π/3), $u_3=U\cos \left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)$u₃=Ucos(θ+2π/3), avec $\theta =\omega t$θ=ω t.

   Par les formules d'addition, $\cos \left(\theta -\frac{2\pi }{3}\right)+\cos \left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)=2\cos \theta \cos \frac{2\pi }{3}=2\cos \theta \times \left(-\frac{1}{2}\right)=-\cos \theta$cos(θ-2π/3)+cos(θ+2π/3)=2cosθcos2π/3=2cosθ×(-1/2)=-cosθ. Donc $u_1+u_2+u_3=0$u₁+u₂+u₃=0 à chaque instant. Pour trois charges identiques, les courants ont aussi une somme nulle : le fil neutre ne transporte aucun courant. Trois fils suffisent à transporter trois fois la puissance d'une phase.

   Puissance : sur une résistance, chaque phase fournit $\frac{u_k^2}{R}$uₖ²/R. Avec ${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$cos²a=(1+cos2a)/2, la somme vaut $\frac{U^2}{2R}\left(3+\cos 2\theta +\cos \left(2\theta -\frac{4\pi }{3}\right)+\cos \left(2\theta +\frac{4\pi }{3}\right)\right)$U²/2R(3+cos2θ+cos(2θ-4π/3)+cos(2θ+4π/3)). Les trois cosinus ont une somme nulle (même calcul, avec $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$cos4π/3=-1/2) : la puissance totale vaut $\frac{3U^2}{2R}$3U²/2R, constante.

   En monophasé, au contraire, $\frac{U^2}{R}{\cos }^2\theta$U²/Rcos²θ varie entre 0 et $\frac{U^2}{R}$U²/R, deux fois par période : à 50 Hz, la puissance pulse 100 fois par seconde.

3. 3. SI : moteurs et transport

   2,5 min

   Une puissance constante donne un couple constant : les moteurs triphasés tournent sans vibration et sont plus compacts. Trois bobines décalées de 120° créent un champ magnétique tournant, qui entraîne le rotor sans balais ni collecteur : c'est le moteur asynchrone, robuste et économique.

   Pour le transport, le triphasé économise du cuivre : la même puissance passe avec moins de fils qu'avec trois circuits monophasés séparés. Les alternateurs des centrales produisent directement du triphasé, et les maisons reçoivent en général une seule des trois phases.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Trois sinusoïdes décalées de $\frac{2\pi }{3}$2π/3 ont une somme nulle et une puissance totale constante : les formules d'addition le démontrent. D'où un neutre sans courant, des moteurs sans à-coups et un transport économe. J'ouvre sur le champ magnétique tournant, qui fait tourner les moteurs asynchrones.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier que la somme nulle suppose des phases équilibrées.
• Confondre décalage de 2π/3 et de π/3.
• Croire que la puissance d'une phase seule est constante.

Revoir les notions

• Trigonométrie (Première spé maths) →
• Fonctions trigonométriques (Terminale spé maths) →

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