Comment une station de radio transporte-t-elle la voix sur une onde de un million de hertz ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En écoutant la radio dans la voiture de mes grands-parents, j'ai remarqué que les stations AM étaient serrées les unes contre les autres sur le cadran. En sciences de l'ingénieur, j'ai découvert que la modulation d'amplitude consiste à multiplier deux sinusoïdes. J'ai voulu comprendre pourquoi une station occupe une bande de fréquences, et une formule de trigonométrie de première m'a donné la réponse.

L'enjeu et les notions du programme

Transformer un produit de cosinus en somme grâce aux formules d'addition et en déduire la bande occupée par un signal modulé.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Le son de la voix (quelques kilohertz) ne peut pas être émis directement par une antenne de taille raisonnable. On l'imprime sur une onde de haute fréquence, la porteuse, en faisant varier son amplitude. Problématique : quelles fréquences contient le signal émis ?

2. 2. Mathématiques : du produit à la somme

   4 min

   Signal modulé : $s(t)=(1+m\cos ({\omega }_{m}t))\cos ({\omega }_{p}t)$s(t)=(1+mcos(ω_mt))cos(ωₚt), où ${\omega }_p=2\pi f_p$ωₚ=2π fₚ est la porteuse, ${\omega }_m=2\pi f_m$ω_m=2π f_m le son, et $m$m le taux de modulation ($0<m<1$0<m<1).

   En développant : $s(t)=\cos ({\omega }_{p}t)+m\cos ({\omega }_{m}t)\cos ({\omega }_{p}t)$s(t)=cos(ωₚt)+mcos(ω_mt)cos(ωₚt). Les formules d'addition donnent $\cos (a+b)+\cos (a-b)=2\cos a\cos b$cos(a+b)+cos(a-b)=2cos acos b, donc $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)]$cos acos b=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)].

   D'où $s(t)=\cos ({\omega }_{p}t)+\frac{m}{2}\cos (({\omega }_p+{\omega }_m)t)+\frac{m}{2}\cos (({\omega }_p-{\omega }_m)t)$s(t)=cos(ωₚt)+m/2cos((ωₚ+ω_m)t)+m/2cos((ωₚ-ω_m)t). Le signal contient trois fréquences : $f_p$fₚ, $f_p+f_m$fₚ+f_m, $f_p-f_m$fₚ-f_m.

   Exemple : porteuse à 1 MHz, son jusqu'à 5 kHz. Le signal occupe la bande de 995 à 1 005 kHz : une largeur de $2f_m=10$2f_m=10 kHz. C'est pourquoi les stations AM sont espacées d'environ 9 kHz en Europe et ont une bande audio limitée.

3. 3. SI : émettre et recevoir

   3 min

   Un récepteur sélectionne une station par un filtre centré sur sa porteuse, assez large pour garder les deux bandes latérales. La démodulation retrouve l'enveloppe $1+m\cos ({\omega }_{m}t)$1+mcos(ω_mt), par exemple avec une diode et un filtre : c'est pourquoi on impose $m<1$m<1, sinon l'enveloppe change de signe et le son est déformé.

   La porteuse transporte la majorité de la puissance sans porter d'information : des variantes la suppriment pour économiser de l'énergie. La modulation de fréquence (FM) occupe une bande bien plus large (environ 200 kHz par station) mais résiste mieux aux parasites, qui affectent surtout l'amplitude.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Multiplier le son par la porteuse revient, par la formule $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)]$cos acos b=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)], à créer deux fréquences voisines de la porteuse : une station AM occupe $2f_m$2f_m, soit 10 kHz. La trigonométrie de première explique l'organisation des ondes radio. J'ouvre sur le multiplexage, qui loge des milliers de conversations dans une même fibre.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier le facteur 1/2 de la formule.
• Croire que le signal ne contient que la fréquence de la porteuse.
• Confondre fréquence et pulsation (facteur 2π).

Revoir les notions

• Trigonométrie (Première spé maths) →
• Fonctions trigonométriques (Terminale spé maths) →

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