Question transversaleMathsSIMoteurs et électricité

Comment un microcontrôleur peut-il mesurer une température avec une simple résistance variable ?

Q: Démontrez la formule du pont diviseur.

Le même courant $I=E/(R₀+R_T)$ traverse les deux résistances ; aux bornes de $R₀$, $V=R₀I$.

Q: Inversez V = E R₀/(R₀ + R_T).

$R₀+R_T=ER₀/V$, donc $R_T=R₀(E/V-1)$.

Une thermistance et une résistance fixe de 10 kΩ en série sous 5 V forment un pont diviseur : V = 5 × 10 / (10 + R_T). À 25 °C (R_T = 10 kΩ), V = 2,5 V ; à 50 °C (R_T ≈ 3,3 kΩ), V ≈ 3,76 V. La relation n'est pas linéaire : on l'inverse pour retrouver R_T, puis la température.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons construit une station météo avec une carte programmable. Pour mesurer la température, le professeur nous a donné une thermistance, une résistance qui varie avec la chaleur, et une résistance fixe. Je ne comprenais pas comment une tension pouvait donner une température. Un calcul de pont diviseur, puis d'inversion de fonction, m'a donné la clé.

L'enjeu et les notions du programme

Établir et inverser une fonction homographique reliant une tension à une résistance, et étudier sa sensibilité par la dérivée.

Mathématiques

Fonctions homographiques, résolution d'équations (seconde)
Fonction réciproque, inversion d'une relation (terminale)
Dérivée et sensibilité (première)

Sciences de l'ingénieur

Chaîne d'information : capteur, conditionnement, conversion (première)
Loi d'Ohm, pont diviseur de tension (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Une thermistance est une résistance dont la valeur diminue quand la température augmente. Un microcontrôleur ne mesure que des tensions. Problématique : comment transformer la résistance en tension, puis la tension en température ?
2. Mathématiques : une fonction homographique
4 min
On place en série la thermistance $R_{T}$ R_T et une résistance fixe $R_{0} = 10$ R₀=10 kΩ sous $E = 5$ E=5 V. Le courant vaut $\frac{E}{R _{0} + R _{T}}$ E/(R₀+R_T), et la tension aux bornes de $R_{0}$ R₀ : $V = E \frac{R _{0}}{R _{0} + R _{T}}$ V=ER₀/(R₀+R_T).
À 25 °C, $R_{T} = 10$ R_T=10 kΩ : $V = 5 \times \frac{10}{20} = 2, 5$ V=5×10/20=2,5 V. À 50 °C, $R_{T} \approx 3, 3$ R_T≈3,3 kΩ : $V = 5 \times \frac{10}{13 , 3} \approx 3, 76$ V=5×10/13,3≈3,76 V. La fonction $R_{T} \mapsto V$ R_T↦ V est décroissante et non linéaire.
Le microcontrôleur mesure $V$ V et doit retrouver $R_{T}$ R_T. On inverse la relation : $V (R_{0} + R_{T}) = E R_{0}$ V(R₀+R_T)=ER₀, donc $R_{T} = R_{0} (\frac{E}{V} - 1)$ R_T=R₀(E/V-1). Pour $V = 3, 76$ V=3,76 V : $R_{T} \approx 10 \times (1, 33 - 1) \approx 3, 3$ R_T≈10×(1,33-1)≈3,3 kΩ. Une table ou une formule du fabricant donne ensuite la température.
Sensibilité : $\frac{d V}{d R _{T}} = - \frac{E R _{0}}{( R _{0} + R _{T} ) ^{2}}$ dV/dR_T=-ER₀/((R₀+R_T)²). Elle est la plus forte, en valeur absolue relative, quand $R_{T}$ R_T est proche de $R_{0}$ R₀ : on choisit donc $R_{0}$ R₀ égal à la valeur de la thermistance au milieu de la plage de mesure.
3. SI : de la tension au nombre
3 min
Le convertisseur analogique-numérique sur 10 bits code la tension de 0 à 5 V en un nombre de 0 à 1 023. À 2,5 V, il lit environ 512. Une variation de 1 °C autour de 25 °C change $R_{T}$ R_T d'environ 4 %, soit une variation de tension d'environ 50 mV (la pente vaut $\frac{E}{4 R _{0}}$ E/4R₀ quand $R_{T} = R_{0}$ R_T=R₀), environ 10 unités du convertisseur : une résolution d'environ 0,1 °C.
Le courant qui traverse la thermistance la chauffe un peu (auto-échauffement) : on choisit des résistances assez grandes pour le limiter. On peut aussi linéariser approximativement la réponse autour de la température usuelle, par l'approximation affine.
4. Conclusion
1,5 min
Un pont diviseur transforme la résistance d'une thermistance en tension, $V = \frac{E R _{0}}{R _{0} + R _{T}}$ V=ER₀/(R₀+R_T), une fonction homographique que l'on inverse pour retrouver $R_{T}$ R_T. La dérivée guide le choix de $R_{0}$ R₀. J'ouvre sur les capteurs numériques, qui intègrent ce calcul et transmettent directement la température.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

V = E \frac{R _{0}}{R _{0} + R _{T}} R_{T} = 10 k Ω : 2, 5 V R_{T} = 3, 3 k Ω : \approx 3, 76 V V=ER₀/(R₀+R_T) R_T=10 k Ω: 2,5 V R_T=3,3 k Ω: \approx3,76 V R_{T} = R_{0} (\frac{E}{V} - 1) \frac{d V}{d R _{T}} = - \frac{E R _{0}}{( R _{0} + R _{T} ) ^{2}} R_T=R₀(E/V-1) dV/dR_T=-ER₀/((R₀+R_T)²)

Conclusion : la réponse à la question

Mesurer une température avec un microcontrôleur, c'est enchaîner une loi d'Ohm, une fonction homographique et son inverse. Les mathématiques transforment une tension en information utile.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Démontrez la formule du pont diviseur.

Le même courant $I = \frac{E}{R _{0} + R _{T}}$ I=E/(R₀+R_T) traverse les deux résistances ; aux bornes de $R_{0}$ R₀, $V = R_{0} I$ V=R₀I.

Inversez V = E R₀/(R₀ + R_T).

$R_{0} + R_{T} = \frac{E R _{0}}{V}$ R₀+R_T=ER₀/V, donc $R_{T} = R_{0} (\frac{E}{V} - 1)$ R_T=R₀(E/V-1).

Que lit un convertisseur 10 bits pour 2,5 V sous 5 V ?

Environ 512 (la moitié de 1 024).

Pourquoi choisir R₀ proche de R_T ?

La tension varie alors le plus pour une variation relative de résistance donnée : meilleure sensibilité.

Qu'est-ce que l'auto-échauffement ?

L'échauffement de la thermistance par le courant qui la traverse, qui fausse la mesure.

Les pièges qui coûtent des points

Se tromper de résistance aux bornes de laquelle on mesure.
Croire que la relation est linéaire.
Oublier la conversion analogique-numérique.

Revoir les notions

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