Question transversaleMathsSIÉnergie et efficacité

Pourquoi la recharge rapide d'une voiture électrique ralentit-elle fortement après 80 % ?

Q: Résolvez 20 e⁽−t/20) = 10.

$e^(-t/20)=1/2$, donc $t=20ln2≈13,9$ min.

La charge se fait d'abord à puissance quasi constante : passer de 10 à 80 % d'une batterie de 60 kWh à 100 kW prend environ 25 min. Ensuite, à tension constante, le courant décroît exponentiellement : avec τ = 20 min, il faut τ ln 2 ≈ 14 min pour gagner 10 % de plus, et τ ln 10 ≈ 46 min pour atteindre 98 %.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Lors d'un trajet en voiture électrique, nous nous sommes arrêtés à une borne rapide. La batterie est passée de 10 à 80 % en une vingtaine de minutes, puis la recharge s'est mise à ralentir de façon spectaculaire. En sciences de l'ingénieur, j'ai appris que la charge se fait en deux phases, et que la seconde suit une loi exponentielle. J'ai voulu chiffrer ce ralentissement.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une charge en deux phases, linéaire puis exponentielle, et calculer des durées avec le logarithme.

Mathématiques

Fonctions affines et proportionnalité (seconde)
Équations différentielles y' = ay + b, fonction exponentielle (terminale)
Logarithme népérien, résolution d'équations (terminale)

Sciences de l'ingénieur

Stockage de l'énergie : batteries, capacité, état de charge (première, terminale)
Chaîne de puissance d'un véhicule électrique (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Une batterie lithium-ion se charge selon un protocole en deux temps : d'abord à courant (ou puissance) constant, puis à tension constante pour ne pas l'abîmer. Problématique : combien de temps durent ces phases, et pourquoi la fin est-elle si lente ?
2. Mathématiques : une droite puis une exponentielle
4 min
Batterie de 60 kWh, borne de 100 kW. Phase 1 : de 10 à 80 %, il faut stocker $0, 7 \times 60 = 42$ 0,7×60=42 kWh. À puissance constante, l'énergie croît linéairement : $t = \frac{42}{100}$ t=42/100 h, soit environ 25 min.
Phase 2 : à tension constante, le courant diminue à mesure que la batterie se remplit. Un modèle simple : la part manquante $m (t)$ m(t) décroît suivant $m^{'} = - \frac{m}{τ}$ m'=-frac mτ, donc $m (t) = m_{0} e^{- t / τ}$ m(t)=m₀e^(-t/τ), avec $m_{0} = 20 %$ m₀=20 % et $τ = 20$ τ=20 min.
Atteindre 90 % : $m = 10 %$ m=10 %, $e^{- t / τ} = \frac{1}{2}$ e^(-t/τ)=1/2, $t = τ ln 2 \approx 14$ t=τln2≈14 min. Atteindre 98 % : $m = 2 %$ m=2 %, $t = τ ln 10 \approx 46$ t=τln10≈46 min. Les 10 derniers pour cent demandent plus de temps que les 70 premiers. Et 100 % n'est jamais atteint en théorie : le chargeur s'arrête quand le courant devient très faible.
3. SI : pourquoi ce protocole
3 min
Une batterie lithium-ion ne doit pas dépasser une tension maximale par cellule (environ 4,2 V), sous peine de dégradation, voire d'incendie. Tant qu'elle est loin de cette tension, on charge fort. Ensuite, on maintient la tension et on laisse le courant diminuer : c'est la phase exponentielle.
Pour un long trajet, il est donc plus rapide de recharger souvent de 10 à 80 % que de remplir à 100 %. Les constructeurs annoncent d'ailleurs le temps de « 10 à 80 % ». La chaleur produite pendant la charge rapide impose aussi un refroidissement de la batterie, qui limite la puissance.
4. Conclusion
1,5 min
La recharge ralentit après 80 % parce qu'elle passe d'une phase linéaire (25 min pour 70 %) à une phase exponentielle (14 min pour 10 % de plus, 46 min pour atteindre 98 %). Le logarithme mesure ce ralentissement. J'ouvre sur les nouvelles chimies de batterie, qui cherchent à repousser cette limite.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

phase 1 : t = \frac{0 , 7 \times 60}{100} h \approx 25 min phase 2 : m (t) = 20 % \times e^{- t /20} phase 1 : t=0,7\times60/100 h \approx25 min phase 2 : m(t)=20 %\times e^(-t/20) 90 % : t = 20 ln 2 \approx 14 min 98 % : t = 20 ln 10 \approx 46 min 90 %: t=20ln2\approx14 min 98 %: t=20ln10\approx46 min

Conclusion : la réponse à la question

Une loi linéaire puis une loi exponentielle décrivent la charge d'une batterie. Le logarithme explique pourquoi les derniers pour cent coûtent si cher en temps.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Résolvez 20 e^(−t/20) = 10.

$e^{- t /20} = \frac{1}{2}$ e^(-t/20)=1/2, donc $t = 20 ln 2 \approx 13, 9$ t=20ln2≈13,9 min.

Pourquoi 100 % n'est-il jamais atteint dans le modèle ?

L'exponentielle ne s'annule jamais : la part manquante tend vers 0 sans l'atteindre.

Combien de temps à 50 kW pour la phase 1 ?

42/50 h, environ 50 min.

Pourquoi ne pas charger fort jusqu'au bout ?

La tension de chaque cellule dépasserait la limite de sécurité et la batterie se dégraderait.

Quelle stratégie pour un long trajet ?

Recharger plusieurs fois de 10 à 80 %, la plage la plus rapide.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que la charge est linéaire jusqu'à 100 %.
Confondre kW (puissance) et kWh (énergie).
Oublier que la phase exponentielle n'atteint jamais 100 %.

Revoir les notions

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