Pourquoi un ascenseur accélère-t-il, roule à vitesse constante puis freine, et combien de temps met-il ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans l'immeuble de mes grands-parents, l'ascenseur démarre en douceur, file à vitesse constante puis ralentit avant de s'arrêter pile à l'étage. En sciences de l'ingénieur, nous avons étudié les « profils de vitesse trapézoïdaux » utilisés pour piloter les moteurs. J'ai voulu calculer la durée d'un trajet et comprendre pourquoi on ne démarre pas à pleine vitesse.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser l'intégrale comme aire sous la courbe de vitesse pour calculer des distances et des durées dans un mouvement par morceaux.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un ascenseur ne peut pas passer brutalement de l'arrêt à sa vitesse de croisière : l'accélération est limitée pour le confort des passagers et pour le moteur. Problématique : combien de temps dure un trajet, et comment le calculer ?

2. 2. Mathématiques : l'aire sous la courbe de vitesse

   4 min

   Le profil comporte trois phases : accélération constante $a=1$a=1 m/s² jusqu'à $v_{\max }=2,5$v_max=2,5 m/s, croisière, puis freinage symétrique. La vitesse est une fonction affine par morceaux : sa courbe est un trapèze.

   Durée de l'accélération : $t_a=\frac{v_{\max }}{a}=2,5$tₐ=v_max/a=2,5 s. Distance parcourue : l'aire du triangle sous la courbe, ${\int }_0^{2,5}tdt=\frac{2,5^2}{2}=3,125$∫₀^(2,5)t dt=2,5²/2=3,125 m. Même chose pour le freinage.

   Pour monter de 30 m : il reste $30-2\times 3,125=23,75$30-2×3,125=23,75 m à vitesse constante, soit $\frac{23,75}{2,5}=9,5$23,75/2,5=9,5 s. Durée totale : $2,5+9,5+2,5=14,5$2,5+9,5+2,5=14,5 s. L'aire du trapèze vaut bien $\frac{(14,5+9,5)}{2}\times 2,5=30$((14,5+9,5))/2×2,5=30 m.

   Pour un trajet court (moins de 6,25 m), l'ascenseur n'atteint jamais sa vitesse maximale : le profil devient triangulaire. Pour 4 m, on accélère sur 2 m, soit $t=\sqrt{\frac{2\times 2}{1}}=2$t=√(2×2/1)=2 s, et l'on freine aussitôt : 4 s en tout.

3. 3. SI : confort, énergie et moteur

   3 min

   L'accélération ressentie par les passagers doit rester modérée (environ 1 m/s², soit un dixième de la pesanteur). Les ascenseurs modernes adoucissent même les changements d'accélération (le « jerk ») pour éviter les à-coups.

   La puissance du moteur est maximale à la fin de l'accélération, quand la vitesse est maximale et qu'il faut encore accélérer la cabine. On dimensionne le moteur sur ce pic, et le contrepoids réduit l'effort en compensant le poids de la cabine. En freinant, un moteur moderne peut renvoyer de l'énergie au réseau.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Un trajet de 30 m dure 14,5 s : 2,5 s d'accélération, 9,5 s de croisière, 2,5 s de freinage. La distance est l'aire sous la courbe de vitesse, un trapèze. Ce profil concilie rapidité, confort et contraintes du moteur. J'ouvre sur les robots industriels, qui utilisent les mêmes profils pour se déplacer vite et précisément.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier les phases d'accélération et de freinage.
• Appliquer le profil trapézoïdal à un trajet trop court.
• Confondre vitesse maximale et vitesse moyenne.

Revoir les notions

• Calcul intégral (Terminale spé maths) →
• Fonctions affines (Seconde) →

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