Pourquoi un moteur alimenté en 230 V et traversé par 10 A ne consomme-t-il pas forcément 2 300 W ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En lisant la plaque signalétique d'un moteur dans l'atelier du lycée, j'ai vu « cos φ = 0,8 ». Je savais que la puissance vaut tension fois courant, mais ce coefficient venait tout changer. En sciences de l'ingénieur, j'ai appris qu'il traduit un décalage entre la tension et le courant. J'ai voulu démontrer la formule de la puissance moyenne avec la trigonométrie.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer la valeur moyenne d'un produit de deux sinusoïdes déphasées grâce aux formules de trigonométrie et à l'intégrale.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Dans un circuit alternatif, la tension et le courant sont des sinusoïdes. Pour une résistance, ils sont en phase ; pour un moteur, le courant est en retard d'un angle $\phi$φ. Problématique : quelle puissance moyenne l'appareil consomme-t-il réellement ?

2. 2. Mathématiques : la moyenne d'un produit

   4,5 min

   On écrit $u(t)=U\sqrt{2}\cos (\omega t)$u(t)=Usqrt2cos(ω t) et $i(t)=I\sqrt{2}\cos (\omega t-\phi )$i(t)=Isqrt2cos(ω t-φ), où $U$U et $I$I sont les valeurs efficaces (230 V et 10 A). La puissance instantanée vaut $p=ui=2UI\cos (\omega t)\cos (\omega t-\phi )$p=ui=2UIcos(ω t)cos(ω t-φ).

   Avec $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$cos acos b=1/2[cos(a-b)+cos(a+b)] : $p(t)=UI\cos \phi +UI\cos (2\omega t-\phi )$p(t)=UIcosφ+UIcos(2ω t-φ). Le premier terme est constant, le second oscille à la fréquence double.

   Moyenne sur une période : l'intégrale d'un cosinus sur un nombre entier de périodes est nulle. Il reste $P=UI\cos \phi$P=UIcosφ, la puissance active.

   Avec $\cos \phi =0,8$cosφ=0,8 : $P=230\times 10\times 0,8=1840$P=230×10×0,8=1 840 W. Le produit $UI=2300$UI=2 300 VA est la puissance apparente. Pour une résistance, $\phi =0$φ=0 et $P=UI$P=UI. Pour une charge purement inductive, $\phi =\frac{\pi }{2}$φ=fracπ2 : $P=0$P=0, le courant circule mais aucune énergie n'est consommée en moyenne.

3. 3. SI : pourquoi corriger le facteur de puissance

   2,5 min

   Le courant de 10 A circule dans les câbles et y crée des pertes $R{I}^2$RI², même si seulement 80 % de la puissance apparente est utile. Pour une même puissance active, un facteur de puissance faible impose un courant plus fort, des câbles plus gros et des pertes plus élevées.

   Les fournisseurs facturent donc aux industriels l'énergie dite réactive, et ceux-ci installent des condensateurs qui compensent le retard du courant et ramènent $\cos \phi$cosφ près de 1. Les alimentations électroniques modernes intègrent aussi des circuits de correction.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La puissance moyenne d'un appareil vaut $UI\cos \phi$UIcosφ : 1 840 W et non 2 300 W pour un moteur de facteur de puissance 0,8. Une formule de trigonométrie et la moyenne nulle d'un cosinus sur une période le démontrent. J'ouvre sur la compensation par condensateurs dans les usines.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Multiplier simplement tension et courant en alternatif.
• Confondre valeur efficace et amplitude.
• Croire qu'un courant élevé signifie toujours une consommation élevée.

Revoir les notions

• Trigonométrie (Première spé maths) →
• Calcul intégral (Terminale spé maths) →

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