À quel moment faut-il remplacer une pièce qui s'use pour dépenser le moins possible ?
Un remplacement préventif coûte 100 €, une panne 1 000 €, et la probabilité de panne avant l'âge t (en années) vaut (t/10)². Le coût moyen par an, C(t) = (100 + 1 000 (t/10)²)/t, est minimal pour t = √10 ≈ 3,2 ans, où il vaut environ 63 € par an, contre 110 € en remplaçant tous les ans ou tous les dix ans.
Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.
Pourquoi cette question : un modèle d'introduction
Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.
Le garagiste de mes parents recommande de changer la courroie de distribution tous les cinq ans, même si elle semble en bon état. Je me suis demandé comment cette durée était choisie : trop tôt, on gaspille des pièces ; trop tard, on risque une panne coûteuse. En sciences de l'ingénieur, j'ai découvert que c'est un problème d'optimisation, qui se résout avec une dérivée.
L'enjeu et les notions du programme
Construire une fonction coût à partir d'hypothèses, la dériver et trouver son minimum pour décider d'une politique de maintenance.
Mathématiques
- Dérivation, variations, extremum (première)
- Fonctions de la forme a/t + b t (première)
- Espérance d'un coût aléatoire (première)
Sciences de l'ingénieur
- Maintenance préventive systématique (terminale)
- Coût global de possession d'un système (terminale)
Le plan de l'exposé en 9,5 min
1. Introduction
1 minUne pièce s'use : plus elle vieillit, plus elle risque de casser. La remplacer préventivement coûte 100 €, une panne coûte 1 000 € (réparation, immobilisation). Problématique : quel intervalle de remplacement minimise le coût moyen par an ?
2. Mathématiques : minimiser un coût annuel
4,5 minModèle simplifié : la probabilité que la pièce casse avant l'âge t (en années) vaut (t/10)², qui croît avec l'âge (usure). On remplace la pièce tous les t ans. Sur un cycle, le coût moyen vaut 100+1 000(t/10)²=100+10t² (espérance : coût fixe plus coût de panne fois probabilité).
Coût moyen par an : C(t)=(100+10t²)/t=100/t+10t. Le premier terme décroît (on remplace moins souvent), le second croît (on risque plus de pannes).
Dérivée : C'(t)=-100/t²+10, qui s'annule pour t²=10, soit t=√(10)≈3,16 ans. C' est négative avant, positive après : c'est un minimum. C(√(10))=100/√(10)+10√(10)=20√(10)≈63 € par an.
Comparaison : remplacer tous les ans coûte C(1)=110 € par an ; tous les dix ans, C(10)=110 € par an aussi. L'optimum fait économiser plus de 40 %. Au minimum, les deux termes sont égaux : 100/t=10t.
3. SI : du modèle à la décision
2,5 minDans la réalité, la loi de probabilité de panne s'estime à partir des retours d'expérience (historique des pannes) et le coût de panne inclut l'immobilisation, parfois très chère (une chaîne de production arrêtée). Le calcul est le même : un coût fixe réparti dans le temps contre un risque qui croît.
Pour un composant sans usure (électronique), le risque ne croît pas avec l'âge : le terme 10t disparaîtrait et l'optimum serait de ne jamais remplacer préventivement. Les constructeurs fixent ainsi des intervalles de maintenance pour les pièces d'usure : courroies, plaquettes, filtres.
4. Conclusion
1,5 minLe coût annuel C(t)=100/t+10t est minimal pour t=√(10)≈3,2 ans : environ 63 € par an au lieu de 110 €. La dérivation transforme un dilemme de maintenance en décision chiffrée. J'ouvre sur la maintenance prédictive, qui remplace la pièce selon son état mesuré plutôt que selon son âge.
Ce que j'écris au tableau
Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.
C'(t)=0⇔ t=√(10)≈3,16 ans C_min=20√(10)≈63 euros par an C(1)=C(10)=110
Conclusion : la réponse à la question
Choisir quand remplacer une pièce est un problème d'optimisation : un coût fixe réparti dans le temps s'oppose à un risque croissant. La dérivée trouve l'équilibre.
Les questions probables du jury
Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.
Vérifiez que C'(t) < 0 pour t < √10.
t²<10⇒100/t²>10, donc C'(t)<0.
Pourquoi C(1) = C(10) ?
100/1+10=110 et 100/10+100=110 : symétrie de la fonction autour de l'optimum en échelle multiplicative.
Que devient l'optimum si la panne coûte 4 000 € ?
C(t)=100/t+40t, minimal pour t=√(2,5)≈1,6 an.
Pourquoi le modèle ne convient-il pas à l'électronique ?
Son risque de panne ne croît pas avec l'âge : remplacer préventivement n'apporte rien.
Qu'est-ce que la maintenance prédictive ?
Remplacer une pièce en fonction de son état mesuré (vibrations, usure) plutôt que de son âge.
Les pièges qui coûtent des points
- Oublier de diviser le coût par la durée du cycle.
- Ne pas vérifier qu'il s'agit d'un minimum.
- Appliquer le modèle à un composant sans usure.
Revoir les notions
Autres questions : fiabilité et maintenance
- Un composant électronique annoncé avec une durée moyenne de 100 000 heures a-t-il des chances de tenir un an ?
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Préparer l'oral, pas seulement le contenu
Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.
Méthode : traiter une question de Grand oral →