Question transversaleMathsSIInformation et commande numérique

Pourquoi un réseau sans fil devient-il moins efficace quand trop d'appareils veulent parler en même temps ?

Q: Dérivez G e⁽−2G).

$e^(-2G)+G×(-2)e^(-2G)=(1-2G)e^(-2G)$.

Q: Pourquoi une fenêtre de deux durées de message ?

Un autre message gêne s'il commence pendant la durée qui précède notre message ou pendant notre message.

Q: Quelle est la limite de S quand G tend vers +∞ ?

0, par croissances comparées : l'exponentielle décroissante l'emporte.

Q: Comment le Wi-Fi évite-t-il l'effondrement ?

Il écoute le canal avant d'émettre et attend un délai aléatoire croissant après une collision.

Dans le protocole ALOHA, chaque appareil émet quand il veut ; deux messages qui se chevauchent sont perdus. Si G messages sont tentés en moyenne par durée de message, le débit utile vaut S = G e^(−2G). Sa dérivée s'annule pour G = 0,5 : le débit maximal n'est que 1/(2e) ≈ 18,4 % de la capacité. Au-delà, plus on émet, moins on transmet.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons fait communiquer plusieurs capteurs sans fil avec une même station. Quand nous en avons ajouté beaucoup, le nombre de messages reçus a baissé au lieu d'augmenter. J'ai découvert le protocole ALOHA, inventé à Hawaï dans les années 1970, et un modèle mathématique qui explique ce paradoxe par une fonction exponentielle.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser un débit par une fonction de la forme G e^(−2G), l'étudier par dérivation et interpréter son maximum.

Mathématiques

Fonction exponentielle, dérivée d'un produit (terminale)
Variations, maximum d'une fonction (première)
Probabilités : approximation (1 − p)ⁿ ≈ e^(−np) (terminale)

Sciences de l'ingénieur

Réseaux de communication : accès au support, collisions (terminale)
Objets connectés, protocoles radio (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Plusieurs appareils partagent une même fréquence radio. Dans le protocole ALOHA, chacun émet dès qu'il a un message ; si deux émissions se chevauchent, les deux sont perdues et doivent être renvoyées. Problématique : quel débit utile obtient-on selon le trafic ?
2. Mathématiques : étudier S = G e^(−2G)
4,5 min
On mesure le trafic $G$ G en nombre moyen d'émissions tentées pendant la durée d'un message. Un message réussit si aucune autre émission ne commence pendant une fenêtre de deux durées de message (avant et pendant lui). Avec de nombreux appareils qui émettent au hasard, la probabilité qu'aucun ne commence dans cette fenêtre vaut $e^{- 2 G}$ e^(-2G) (limite de $(1 - p)^{n}$ (1-p)ⁿ quand $n p = 2 G$ np=2G).
Le débit utile est donc $S (G) = G e^{- 2 G}$ S(G)=Ge^(-2G). Dérivée : $S^{'} (G) = e^{- 2 G} - 2 G e^{- 2 G} = (1 - 2 G) e^{- 2 G}$ S'(G)=e^(-2G)-2Ge^(-2G)=(1-2G)e^(-2G). Elle est positive pour $G < \frac{1}{2}$ G<1/2, négative ensuite : $S$ S est maximal en $G = \frac{1}{2}$ G=1/2, où $S = \frac{1}{2} e^{- 1} = \frac{1}{2 e} \approx 0, 184$ S=1/2e⁻¹=1/2e≈0,184.
Au mieux, 18,4 % du temps sert à des transmissions réussies. Au-delà de $G = 0, 5$ G=0,5, le débit diminue : avec $G = 2$ G=2, $S = 2 e^{- 4} \approx 0, 037$ S=2e⁻⁴≈0,037. Et comme les messages perdus sont renvoyés, le trafic augmente encore : le réseau s'effondre. Par croissances comparées, $S \to 0$ S→0 quand $G \to + \infty$ G→+∞.
3. SI : améliorer l'accès
2,5 min
Une amélioration simple : n'émettre qu'au début de créneaux synchronisés (« ALOHA discrétisé ») réduit la fenêtre de collision à une durée : $S = G e^{- G}$ S=Ge^(-G), maximal à $\frac{1}{e} \approx 36, 8 %$ 1/e≈36,8 %, deux fois mieux.
Le Wi-Fi écoute le canal avant d'émettre et attend un délai aléatoire, de plus en plus long en cas de collisions répétées : il évite l'effondrement. Les réseaux d'objets connectés à longue portée (LoRa) utilisent encore un accès de type ALOHA et limitent donc le nombre d'émissions de chaque capteur.
4. Conclusion
1,5 min
Le débit utile d'ALOHA, $S = G e^{- 2 G}$ S=Ge^(-2G), est maximal pour $G = 0, 5$ G=0,5 et ne dépasse pas $\frac{1}{2 e} \approx 18, 4 %$ 1/2e≈18,4 % ; au-delà, plus on émet, moins on transmet. L'étude d'une fonction exponentielle explique l'effondrement des réseaux saturés. J'ouvre sur les protocoles qui écoutent avant d'émettre, comme le Wi-Fi.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

S (G) = G e^{- 2 G} S^{'} (G) = (1 - 2 G) e^{- 2 G} S_{m a x} = S (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2 e} \approx 0, 184 S(G)=Ge^(-2G) S'(G)=(1-2G)e^(-2G) S_max=S (1/2)=1/2e\approx0,184 G = 2 : S = 2 e^{- 4} \approx 0, 037 cr \overset{e}{ˊ} neaux : S = G e^{- G}, S_{m a x} = \frac{1}{e} \approx 0, 368 G=2: S=2e⁻⁴\approx0,037 créneaux : S=Ge^(-G), S_max=1/e\approx0,368

Conclusion : la réponse à la question

Un réseau sans coordination a un débit maximal faible et s'effondre quand le trafic augmente. Une fonction exponentielle et sa dérivée en donnent l'explication et le point de fonctionnement optimal.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Dérivez G e^(−2G).

$e^{- 2 G} + G \times (- 2) e^{- 2 G} = (1 - 2 G) e^{- 2 G}$ e^(-2G)+G×(-2)e^(-2G)=(1-2G)e^(-2G).

Pourquoi une fenêtre de deux durées de message ?

Un autre message gêne s'il commence pendant la durée qui précède notre message ou pendant notre message.

Quelle est la limite de S quand G tend vers +∞ ?

0, par croissances comparées : l'exponentielle décroissante l'emporte.

Comment le Wi-Fi évite-t-il l'effondrement ?

Il écoute le canal avant d'émettre et attend un délai aléatoire croissant après une collision.

Que vaut S pour G = 0,1 ?

$0, 1 e^{- 0, 2} \approx 0, 082$ 0,1e^(-0,2)≈0,082.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que le débit augmente toujours avec le trafic.
Oublier le facteur 2 de la fenêtre de collision.
Confondre trafic tenté et débit utile.

Revoir les notions

Autres questions : information et commande numérique

Toutes les questions maths-sciences de l'ingénieur →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →