Question transversaleMathsSISignaux et numérisation

Comment un signal carré, fait d'angles vifs, peut-il être une somme de sinusoïdes toutes lisses ?

Q: Calculez sin(3π/2) et sin(5π/2).

$-1$ et $1$ : $5π/2=2π+fracπ2$.

Q: Calculez la somme partielle à 2 termes en π/2.

$frac4π(1-1/3)=8/3π≈0,85$.

Un signal carré vaut (4/π)(sin x + sin 3x / 3 + sin 5x / 5 + …). En x = π/2, la somme devient (4/π)(1 − 1/3 + 1/5 − …), et la série de Leibniz donne π/4 : on retrouve 1. Avec 1, 2, 3, 10 et 100 termes, on obtient 1,27 ; 0,85 ; 1,10 ; 0,97 ; 1,00.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En sciences de l'ingénieur, nous avons observé à l'oscilloscope le spectre d'un signal carré produit par un microcontrôleur : à la place d'une seule raie, il y en avait une infinité. J'ai découvert que Joseph Fourier avait affirmé, en 1807, que tout signal périodique est une somme de sinusoïdes. J'ai voulu vérifier, sur un point précis, que la somme redonne bien la valeur du carré.

L'enjeu et les notions du programme

Évaluer une somme de fonctions trigonométriques en un point et étudier la convergence d'une somme alternée.

Mathématiques

Fonctions trigonométriques, valeurs remarquables (première, terminale)
Sommes de termes, suites, limites (première, terminale)
Fonctions impaires et périodiques (seconde, terminale)

Sciences de l'ingénieur

Spectre d'un signal, harmoniques (terminale)
Signaux logiques et bande passante (terminale)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un signal carré alterne entre $+ 1$ +1 et $- 1$ -1 : il vaut 1 sur $] 0; π [$ ]0;π[ et $- 1$ -1 sur $] π; 2 π [$ ]π;2π[, puis se répète. Problématique : comment une somme de sinusoïdes, sans aucun angle, peut-elle le reproduire ?
2. Mathématiques : une somme qui converge
4,5 min
Fourier montre que $c (x) = \frac{4}{π} (sin x + \frac{s i n 3 x}{3} + \frac{s i n 5 x}{5} + \dots)$ c(x)=frac4π(sin x+sin3x/3+sin5x/5+…) : seulement des harmoniques impairs, d'amplitudes $\frac{1}{k}$ 1/k. Chaque terme est impair et $2 π$ 2π-périodique, comme le carré.
Vérifions en $x = \frac{π}{2}$ x=fracπ2, où le carré vaut 1. On a $sin \frac{π}{2} = 1$ sinfracπ2=1, $sin \frac{3 π}{2} = - 1$ sin3π/2=-1, $sin \frac{5 π}{2} = 1$ sin5π/2=1… La somme devient $\frac{4}{π} (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots)$ frac4π(1-1/3+1/5-1/7+…).
Les sommes partielles valent : 1 terme $\frac{4}{π} \approx 1, 27$ frac4π≈1,27 ; 2 termes $\frac{4}{π} \times \frac{2}{3} \approx 0, 85$ frac4π×2/3≈0,85 ; 3 termes $1, 10$ 1,10 ; 10 termes $0, 97$ 0,97 ; 100 termes $1, 00$ 1,00. Elles oscillent autour de 1 en se resserrant : la somme alternée converge.
Sa limite est la série de Leibniz : $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots = \frac{π}{4}$ 1-1/3+1/5-…=fracπ4 (résultat admis). On obtient bien $\frac{4}{π} \times \frac{π}{4} = 1$ frac4π×fracπ4=1. Près des sauts, en revanche, il reste un dépassement d'environ 9 % qui ne disparaît jamais : le phénomène de Gibbs.
3. SI : conséquences pratiques
2,5 min
Un signal logique d'horloge à 1 MHz contient donc des composantes à 3, 5, 7 MHz… Pour transmettre ses fronts raides, un câble doit laisser passer ces harmoniques ; si la bande passante est trop faible, le carré arrive arrondi et peut être mal lu.
Ces harmoniques rayonnent aussi des parasites électromagnétiques : les cartes électroniques sont conçues pour les limiter. Inversement, un filtre qui ne garde que le fondamental transforme un carré en sinusoïde : c'est ainsi que certains générateurs fabriquent des signaux sinusoïdaux à partir d'une horloge.
4. Conclusion
1,5 min
Un carré est la limite d'une somme de sinusoïdes d'amplitudes $\frac{1}{k}$ 1/k : en $\frac{π}{2}$ fracπ2, la somme alternée converge vers 1 grâce à la série de Leibniz. Les angles vifs viennent des harmoniques de haute fréquence, d'où l'importance de la bande passante. J'ouvre sur la compression audio et d'image, qui repose sur cette décomposition en fréquences.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

c(x)=frac4πΣ_k impair(sin kx)/k x=fracπ2: frac4π(1-1/3+1/5-…)1,27; 0,85; 1,10; …; 0,97 (10); 1,00 (100) 1-1/3+1/5-…=fracπ4

Conclusion : la réponse à la question

Une somme infinie de sinusoïdes reproduit un signal carré : on le vérifie en un point avec la série de Leibniz. Ce résultat explique pourquoi les signaux numériques demandent une large bande passante.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez sin(3π/2) et sin(5π/2).

$- 1$ -1 et $1$ 1 : $\frac{5 π}{2} = 2 π + \frac{π}{2}$ 5π/2=2π+fracπ2.

Pourquoi n'y a-t-il pas de cosinus dans la décomposition ?

Le carré est une fonction impaire ; une somme de cosinus serait paire.

Calculez la somme partielle à 2 termes en π/2.

$\frac{4}{π} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{8}{3 π} \approx 0, 85$ frac4π(1-1/3)=8/3π≈0,85.

Qu'est-ce que le phénomène de Gibbs ?

Un dépassement d'environ 9 % près des discontinuités, qui persiste quel que soit le nombre de termes.

Quelles fréquences contient une horloge carrée à 10 MHz ?

10, 30, 50, 70 MHz… (harmoniques impairs), d'amplitudes décroissantes.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le facteur 4/π.
Inclure les harmoniques pairs.
Croire que la somme converge uniformément près des sauts.

Revoir les notions

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