Pourquoi une épidémie atteint-elle un pic puis décline-t-elle, avant même que tout le monde soit infecté ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Pendant les vagues épidémiques, les courbes de cas montaient, atteignaient un pic, puis redescendaient, même sans mesure particulière. Je me suis demandé pourquoi l'épidémie ne continuait pas jusqu'à infecter tout le monde. Le modèle SIR, qui sépare la population en Sains, Infectés et Rétablis, explique ce pic et se simule facilement par la méthode d'Euler.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une épidémie par un système d'équations, en simuler l'évolution pas à pas et interpréter la condition du pic.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   On répartit la population en trois groupes : S (sensibles), I (infectés et contagieux), R (rétablis et immunisés), en proportions $s+i+r=1$s+i+r=1. Problématique : comment évoluent ces proportions, et pourquoi l'épidémie a-t-elle un pic ?

2. 2. Mathématiques : le modèle et sa simulation

   4 min

   Chaque jour, une fraction $\beta$β des contacts entre sensibles et infectés produit une contamination, et une fraction $\gamma$γ des infectés guérit : $s^{\prime }=-\beta si$s'=-β si, $i^{\prime }=\beta si-\gamma i$i'=β si-γ i, $r^{\prime }=\gamma i$r'=γ i. Le nombre de reproduction vaut $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$R₀=fracβγ.

   Les infectés augmentent tant que $i^{\prime }>0$i'>0, c'est-à-dire $\beta s>\gamma$β s>γ, soit $R_{0}s>1$R₀ s>1. Le pic survient quand $s=\frac{1}{R_0}$s=1/R₀ : pour $R_0=3$R₀=3, quand il ne reste qu'un tiers de sensibles. Au-delà, chaque malade contamine moins d'une personne : l'épidémie décline, faute de personnes à contaminer.

   Simulation par la méthode d'Euler (pas d'un jour) avec $\beta =0,3$β=0,3, $\gamma =0,1$γ=0,1, $i_0=0,001$i₀=0,001 : le pic atteint environ 31 % d'infectés simultanés vers le 40ᵉ jour, quand $s\approx 0,31$s≈0,31. À la fin, environ 95 % de la population a été touchée, mais pas 100 % : quelques sensibles restent, car l'épidémie s'arrête avant de les atteindre.

3. 3. SVT : aplatir la courbe

   3 min

   Réduire les contacts diminue $\beta$β, donc $R_0$R₀ : le pic est plus bas et plus tardif, et le nombre total d'infectés diminue. C'était l'objectif de « l'aplatissement de la courbe » pendant la pandémie : éviter que trop de malades graves arrivent en même temps à l'hôpital.

   Le modèle SIR est simplifié : il suppose une population homogène, une immunité définitive et ignore la période d'incubation (le modèle SEIR l'ajoute). Il donne pourtant les mécanismes essentiels utilisés par les épidémiologistes.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Une épidémie atteint un pic quand la proportion de sensibles tombe à $\frac{1}{R_0}$1/R₀ : chaque malade contamine alors moins d'une personne, et l'épidémie décline avant d'avoir touché tout le monde. La méthode d'Euler permet de simuler cette dynamique. J'ouvre sur le calcul de la taille finale de l'épidémie.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire que l'épidémie s'arrête parce que le virus disparaît de lui-même.
• Penser que toute la population finit infectée.
• Utiliser un pas trop grand dans la simulation.

Revoir les notions

• Dérivation locale (Première spé maths) →
• Algorithmique et Python (Terminale spé maths) →

Autres questions : épidémies et immunité

• Que mesure le nombre de reproduction R₀ d'une maladie, et pourquoi le seuil de 1 est-il décisif ?
• Quelle proportion de la population faut-il vacciner pour protéger aussi ceux qui ne le sont pas ?
• Quelle proportion de la population une épidémie finit-elle par toucher ?
• Si la plupart des malades hospitalisés sont vaccinés, cela prouve-t-il que le vaccin ne marche pas ?

Toutes les questions maths-svt →