Quelle proportion de la population faut-il vacciner pour protéger aussi ceux qui ne le sont pas ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

On dit que la vaccination ne protège pas seulement la personne vaccinée, mais aussi ceux qui ne peuvent pas l'être, comme les nourrissons. On parle d'immunité collective. Je me suis demandé quelle proportion de la population il faut vacciner pour l'atteindre, et pourquoi ce seuil est si élevé pour la rougeole. Une inéquation simple répond à la question.

L'enjeu et les notions du programme

Établir et résoudre une inéquation donnant le seuil d'immunité collective, et étudier la fonction R₀ ↦ 1 − 1/R₀.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Quand une partie de la population est immunisée, un malade rencontre moins de personnes réceptives. Problématique : à partir de quelle proportion d'immunisés une épidémie ne peut-elle plus se propager ?

2. 2. Mathématiques : une inéquation

   4 min

   Si une proportion $p$p de la population est immunisée, un malade ne contamine plus en moyenne que $R=R_0(1-p)$R=R₀(1-p) personnes (seules les rencontres avec des non-immunisés comptent). L'épidémie régresse si $R<1$R<1 : $R_0(1-p)<1⟺p>1-\frac{1}{R_0}$R₀(1-p)<1⇔ p>1-1/R₀.

   Grippe ($R_0\approx 1,5$R₀≈1,5) : $p>\frac{1}{3}\approx 33$p>1/3≈33 %. $R_0=3$R₀=3 : $p>67$p>67 %. Rougeole ($R_0\approx 15$R₀≈15) : $p>93$p>93 %. La fonction $R_0\mapsto 1-\frac{1}{R_0}$R₀↦1-1/R₀ est croissante et tend vers 1 : plus une maladie est contagieuse, plus le seuil est proche de 100 %.

   Avec un vaccin d'efficacité $e$e (proportion de vaccinés réellement protégés), il faut une couverture $c$c telle que $ce>1-\frac{1}{R_0}$ce>1-1/R₀. Pour $R_0=3$R₀=3 et $e=0,9$e=0,9 : $c>\frac{0,67}{0,9}\approx 74$c>0,67/0,9≈74 %. Pour la rougeole, avec $e\approx 0,97$e≈0,97 : $c>96$c>96 %, d'où l'objectif de 95 % de vaccination avec deux doses.

3. 3. SVT : protéger les plus fragiles

   3 min

   Au-dessus du seuil, une personne non immunisée (nourrisson, personne immunodéprimée) est protégée indirectement : le pathogène ne circule presque plus. En dessous, des épidémies réapparaissent : la rougeole a fait son retour en Europe dans les années 2010, quand la couverture vaccinale a baissé dans certaines régions.

   Le calcul suppose une population homogène. En réalité, des poches de non-vaccinés (écoles, communautés) peuvent entretenir des foyers locaux même si la couverture moyenne est suffisante.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Pour que l'épidémie régresse, il faut immuniser une proportion supérieure à $1-\frac{1}{R_0}$1-1/R₀ : un tiers pour la grippe, plus de 93 % pour la rougeole, davantage encore si le vaccin n'est pas parfaitement efficace. Ce seuil explique les objectifs de couverture vaccinale. J'ouvre sur les poches de non-vaccinés, qui permettent aux épidémies de revenir.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier l'efficacité imparfaite du vaccin.
• Croire que l'immunité collective protège même avec une couverture inférieure au seuil.
• Supposer une population parfaitement homogène.

Revoir les notions

• Fonction carré et fonction inverse (Seconde) →
• Calcul littéral et équations (Seconde) →

Autres questions : épidémies et immunité

• Que mesure le nombre de reproduction R₀ d'une maladie, et pourquoi le seuil de 1 est-il décisif ?
• Pourquoi une épidémie atteint-elle un pic puis décline-t-elle, avant même que tout le monde soit infecté ?
• Quelle proportion de la population une épidémie finit-elle par toucher ?
• Si la plupart des malades hospitalisés sont vaccinés, cela prouve-t-il que le vaccin ne marche pas ?

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