Question transversaleMathsSVTÉpidémies et immunité

Quelle proportion de la population une épidémie finit-elle par toucher ?

Q: Pourquoi z = 0 est-il aussi solution ?

$1-e⁰=0$ : c'est le cas sans épidémie ; on cherche la solution non nulle.

Q: Combien d'étapes de dichotomie pour une précision de 0,001 à partir de [0,5 ; 1] ?

$0,5/2ⁿ≤0,001⇔2ⁿ≥500$ : 9 étapes.

Q: Calculez e⁻¹ et e⁻².

$e⁻¹≈0,368$, $e⁻²≈0,135$.

Dans le modèle SIR, la proportion finale z de personnes touchées vérifie z = 1 − e^(−R₀z), équation qu'on ne sait pas résoudre exactement ; le théorème des valeurs intermédiaires et une dichotomie donnent z ≈ 58 % pour R₀ = 1,5, 80 % pour R₀ = 2, 94 % pour R₀ = 3.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Au début d'une épidémie, les épidémiologistes annoncent parfois quelle proportion de la population pourrait être infectée sans intervention. Je me suis demandé comment ils obtenaient ce chiffre. Le modèle SIR conduit à une équation mêlant l'inconnue et une exponentielle, qu'aucune formule ne résout : il faut le théorème des valeurs intermédiaires et une méthode numérique.

L'enjeu et les notions du programme

Justifier l'existence d'une solution d'une équation transcendante par le théorème des valeurs intermédiaires et l'approcher par dichotomie.

Mathématiques

Fonction exponentielle, étude de fonction (terminale)
Théorème des valeurs intermédiaires, dichotomie (terminale)
Algorithmique (première, terminale)

Sciences de la vie et de la Terre

Épidémies, immunité (première)
Modélisation en santé publique (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Une épidémie se propage sans intervention dans une population entièrement réceptive, avec un nombre de reproduction $R_{0}$ R₀. Problématique : quelle proportion $z$ z de la population aura été touchée à la fin ?
2. Mathématiques : une équation sans formule
4 min
Dans le modèle SIR, on montre que la proportion finale $z$ z de personnes touchées vérifie $z = 1 - e^{- R_{0} z}$ z=1-e^(-R₀z) (équation de la taille finale). On ne sait pas isoler $z$ z avec les fonctions usuelles.
On étudie $f (z) = z - 1 + e^{- R_{0} z}$ f(z)=z-1+e^(-R₀z) sur $] 0; 1]$ ]0;1]. Pour $R_{0} = 2$ R₀=2 : $f (0, 5) = - 0, 5 + e^{- 1} \approx - 0, 13 < 0$ f(0,5)=-0,5+e⁻¹≈-0,13<0 et $f (1) = e^{- 2} \approx 0, 14 > 0$ f(1)=e⁻²≈0,14>0. La fonction est continue ; d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation a une solution entre 0,5 et 1 (et l'on montre qu'elle est unique sur $] 0; 1]$ ]0;1]). Par dichotomie : $z \approx 0, 797$ z≈0,797, soit environ 80 %.
Pour $R_{0} = 1, 5$ R₀=1,5 : environ 58 % ; pour $R_{0} = 3$ R₀=3 : environ 94 %. La proportion finale dépasse le seuil d'immunité collective ( $1 - \frac{1}{R _{0}}$ 1-1/R₀, soit 50 % pour $R_{0} = 2$ R₀=2) : l'épidémie continue après son pic, par inertie.
3. SVT : intérêt du calcul
3 min
Le calcul montre le coût d'une épidémie laissée sans contrôle : pour $R_{0} = 2$ R₀=2, quatre personnes sur cinq seraient infectées. Il montre aussi l'intérêt de la vaccination : atteindre l'immunité collective par la vaccination évite ce « dépassement ».
Les hypothèses (population homogène, immunité durable, $R_{0}$ R₀ constant) sont fortes : les comportements changent pendant une épidémie, ce qui réduit le nombre de cas. Les ordres de grandeur restent utiles pour la préparation sanitaire.
4. Conclusion
2 min
La proportion finale de personnes touchées par une épidémie est la solution de $z = 1 - e^{- R_{0} z}$ z=1-e^(-R₀z) : environ 80 % pour $R_{0} = 2$ R₀=2. Faute de formule, le théorème des valeurs intermédiaires assure son existence et la dichotomie l'approche. J'ouvre sur l'écart entre ce résultat et le seuil d'immunité collective.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

z = 1 - e^{- R_{0} z} ⟺ f (z) = z - 1 + e^{- R_{0} z} = 0 z=1-e^(-R₀z)\Leftrightarrow f(z)=z-1+e^(-R₀z)=0 R_{0} = 2 : f (0, 5) \approx - 0, 13 < 0, f (1) \approx 0, 14 > 0 \Rightarrow z \approx 0, 797 R₀=2: f(0,5)\approx-0,13<0, f(1)\approx0,14>0 \Rightarrow z\approx0,797 R_{0} = 1, 5 : 58 % R_{0} = 3 : 94 % R₀=1,5: 58 % R₀=3: 94 %

Conclusion : la réponse à la question

La taille finale d'une épidémie est solution d'une équation transcendante : le théorème des valeurs intermédiaires garantit son existence, la dichotomie l'approche. Pour $R_{0} = 2$ R₀=2, environ 80 % de la population serait touchée sans intervention, bien au-delà du seuil d'immunité collective.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi z = 0 est-il aussi solution ?

$1 - e^{0} = 0$ 1-e⁰=0 : c'est le cas sans épidémie ; on cherche la solution non nulle.

Combien d'étapes de dichotomie pour une précision de 0,001 à partir de [0,5 ; 1] ?

$\frac{0 , 5}{2 ^{n}} \leq 0, 001 ⟺ 2^{n} \geq 500$ 0,5/2ⁿ≤0,001⇔2ⁿ≥500 : 9 étapes.

Pourquoi la taille finale dépasse-t-elle le seuil d'immunité collective ?

Au pic, il reste beaucoup d'infectés, qui contaminent encore des personnes avant de guérir.

Calculez e⁻¹ et e⁻².

$e^{- 1} \approx 0, 368$ e⁻¹≈0,368, $e^{- 2} \approx 0, 135$ e⁻²≈0,135.

Pourquoi les épidémies réelles touchent-elles souvent moins de monde ?

Les comportements changent, des mesures sont prises et la population n'est pas homogène.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre taille finale et seuil d'immunité collective.
Oublier la solution triviale z = 0.
Affirmer l'existence d'une solution sans continuité ni changement de signe.

Revoir les notions

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