Question transversaleMathsSVTÉpidémies et immunité

Si la plupart des malades hospitalisés sont vaccinés, cela prouve-t-il que le vaccin ne marche pas ?

Q: Si 99 % sont vaccinés, quelle part des malades est vaccinée ?

Vaccinés malades $990×0,01=9,9$, non vaccinés $10×0,1=1$ : environ 91 %.

L'efficacité d'un vaccin compare les taux d'attaque : 9 cas sur 10 000 vaccinés contre 90 sur 10 000 non vaccinés donnent 1 − 9/90 = 90 %. Mais avec 90 % de vaccinés, presque la moitié des cas (9 sur 19) sont vaccinés : la proportion de vaccinés parmi les malades dépend de la couverture.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 9,5 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Pendant la pandémie, j'ai vu circuler des messages affirmant que « la majorité des malades à l'hôpital sont vaccinés, donc le vaccin ne sert à rien ». Le raisonnement semblait logique. En mathématiques, j'ai reconnu une confusion entre deux probabilités conditionnelles, que l'on démonte avec un simple tableau. J'ai voulu comprendre comment on mesure vraiment l'efficacité d'un vaccin.

L'enjeu et les notions du programme

Distinguer P(malade | vacciné) et P(vacciné | malade), et calculer une efficacité vaccinale à partir de taux d'attaque.

Mathématiques

Probabilités conditionnelles, tableaux croisés (première)
Formule des probabilités totales, Bayes (première)

Sciences de la vie et de la Terre

Vaccination, réponse immunitaire adaptative (première)
Essais cliniques, santé publique (première)

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. Introduction
1 min
Un essai clinique répartit 20 000 volontaires au hasard : 10 000 reçoivent le vaccin, 10 000 un placebo. Problématique : comment mesurer l'efficacité du vaccin, et comment interpréter le fait que de nombreux malades soient vaccinés ?
2. Mathématiques : l'efficacité vaccinale
3 min
On observe 9 cas chez les vaccinés et 90 chez les non-vaccinés. Taux d'attaque : $P_{V} (M) = \frac{9}{10 000}$ P_V(M)=9/(10 000) et $P_{\overset{ˉ}{V}} (M) = \frac{90}{10 000}$ P_bar V(M)=90/(10 000). L'efficacité est la réduction relative du risque : $E = 1 - \frac{P _{V} ( M )}{P _{\overset{ˉ}{V}} ( M )} = 1 - \frac{9}{90} = 90$ E=1-P_V(M)/(P_bar V(M))=1-9/90=90 %.
Le tirage au sort garantit que les deux groupes sont comparables : la différence vient du vaccin.
3. Le paradoxe des vaccinés malades
4 min
Dans une population de 1 000 personnes vaccinées à 90 %, avec un risque de 10 % chez les non-vaccinés et un vaccin efficace à 90 % (risque de 1 % chez les vaccinés) : malades vaccinés $900 \times 0, 01 = 9$ 900×0,01=9, malades non vaccinés $100 \times 0, 1 = 10$ 100×0,1=10. Parmi les 19 malades, 9 sont vaccinés : $P_{M} (V) \approx 47$ P_M(V)≈47 %.
Avec une couverture encore plus forte, les vaccinés deviendraient majoritaires parmi les malades, alors que chaque vacciné a 10 fois moins de risque. Il n'y a pas de contradiction : $P_{M} (V)$ P_M(V) dépend du nombre de vaccinés, $P_{V} (M)$ P_V(M) mesure le risque. À la limite, si tout le monde est vacciné, 100 % des malades le sont.
La bonne comparaison est le risque dans chaque groupe : 1 % contre 10 %. Confondre $P_{M} (V)$ P_M(V) et $P_{V} (M)$ P_V(M) est une erreur classique de raisonnement, la même que dans l'interprétation des tests médicaux.
4. Conclusion
1,5 min
Qu'une majorité des malades soient vaccinés ne prouve pas l'inefficacité du vaccin : quand presque tout le monde est vacciné, même un vaccin efficace laisse plus de malades vaccinés en nombre absolu. L'efficacité se mesure en comparant les risques dans chaque groupe, ici 90 %. J'ouvre sur la distinction entre protection contre l'infection et contre les formes graves.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

E = 1 - \frac{P _{V} ( M )}{P _{\overset{ˉ}{V}} ( M )} = 1 - \frac{9/10 000}{90/10 000} = 0, 9 E=1-P_V(M)/(P_bar V(M))=1-(9/10 000)/(90/10 000)=0,9 population : 900 \times 0, 01 = 9 vaccin \overset{e}{ˊ} s malades, 100 \times 0, 1 = 10 non vaccin \overset{e}{ˊ} s population : 900\times0,01=9 vaccinés malades , 100\times0,1=10 non vaccinés P_{M} (V) = \frac{9}{19} \approx 47 % P_{V} (M) = 1 % contre P_{\overset{ˉ}{V}} (M) = 10 % P_M(V)=9/19\approx47 % P_V(M)=1 % contre P_bar V(M)=10 %

Conclusion : la réponse à la question

L'efficacité d'un vaccin se mesure par la réduction du risque chez les vaccinés, pas par la proportion de vaccinés parmi les malades. Cette dernière dépend de la couverture vaccinale : confondre les deux probabilités conditionnelles conduit à des conclusions fausses.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi tirer au sort les participants d'un essai ?

Pour que les deux groupes soient comparables sur tous les autres facteurs : la seule différence est le vaccin.

Si 99 % sont vaccinés, quelle part des malades est vaccinée ?

Vaccinés malades $990 \times 0, 01 = 9, 9$ 990×0,01=9,9, non vaccinés $10 \times 0, 1 = 1$ 10×0,1=1 : environ 91 %.

Qu'est-ce qu'un placebo ?

Une substance sans principe actif, administrée au groupe témoin pour comparer sans biais.

Un vaccin efficace à 90 % protège-t-il 90 % des vaccinés à coup sûr ?

Il réduit le risque de 90 % : chaque vacciné a un risque dix fois plus faible qu'un non-vacciné, dans les mêmes conditions.

Pourquoi distinguer infection et forme grave ?

Un vaccin peut moins protéger contre l'infection que contre les formes graves ; les deux efficacités se mesurent séparément.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre P(vacciné | malade) et P(malade | vacciné).
Comparer des nombres absolus au lieu de taux.
Croire qu'un vaccin efficace élimine tous les cas.

Revoir les notions

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