Que mesure le nombre de reproduction R₀ d'une maladie, et pourquoi le seuil de 1 est-il décisif ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Pendant la pandémie de Covid-19, on entendait chaque jour parler du « R », et les décisions politiques dépendaient de sa position par rapport à 1. Je ne comprenais pas pourquoi ce seuil était si important. En SVT, on étudie la transmission des agents infectieux ; en mathématiques, les suites géométriques. Leur rencontre explique tout.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser la propagation d'une maladie par une suite géométrique et interpréter la raison par rapport à 1.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Le nombre de reproduction de base $R_0$R₀ est le nombre moyen de personnes qu'un malade contamine dans une population entièrement réceptive. Problématique : comment évolue le nombre de cas selon sa valeur ?

2. 2. Mathématiques : une suite géométrique

   4 min

   Par « génération » d'infection (le temps moyen entre une contamination et les suivantes), chaque cas en produit $R$R nouveaux : $u_{n+1}=R{u}_n$uₙ₊₁=R uₙ, donc $u_n=u_0{R}^n$uₙ=u₀Rⁿ.

   Avec $R=3$R=3 et une génération de 5 jours, en 30 jours (6 générations), un cas devient $3^6=729$3⁶=729 nouveaux cas, et le total cumulé $1+3+\cdots +3^6=\frac{3^7-1}{2}=1093$1+3+…+3⁶=(3⁷-1)/2=1 093. Avec $R=1,5$R=1,5 : $1,5^6\approx 11$1,5⁶≈11. Avec $R=0,8$R=0,8 : $0,8^6\approx 0,26$0,8⁶≈0,26, le nombre de nouveaux cas diminue.

   Seuil : si $R>1$R>1, la suite géométrique tend vers $+\infty$+∞ (croissance exponentielle) ; si $R<1$R<1, elle tend vers 0 et le nombre total de cas reste fini : $\frac{u_0}{1-R}$u₀/(1-R), soit 5 cas au total pour un cas initial avec $R=0,8$R=0,8. C'est pourquoi le seuil de 1 est décisif.

3. 3. SVT : ce qui fait R

   3 min

   $R_0$R₀ dépend du pathogène (contagiosité, durée de contagion) et des comportements (contacts). Ordres de grandeur : environ 1,5 pour la grippe saisonnière, 2 à 3 pour la souche initiale du SARS-CoV-2, 12 à 18 pour la rougeole.

   Au cours d'une épidémie, on parle de nombre de reproduction effectif $R$R : il baisse quand une partie de la population est immunisée ou que les contacts diminuent (gestes barrières, confinement). Les mesures sanitaires visent à faire passer $R$R sous 1.

4. 4. Conclusion

   2 min

   $R_0$R₀ est la raison de la suite géométrique des cas : au-dessus de 1, l'épidémie croît exponentiellement ; en dessous, elle s'éteint, avec un nombre total de cas fini. C'est pourquoi la position de $R$R par rapport à 1 guide les politiques sanitaires. J'ouvre sur le seuil d'immunité collective, qui découle directement de $R_0$R₀.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre R₀ et le nombre total de cas.
• Croire qu'un R légèrement supérieur à 1 est sans danger.
• Oublier que R change au cours de l'épidémie.

Revoir les notions

• Suites arithmétiques et géométriques (Première spé maths) →
• Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →

Autres questions : épidémies et immunité

• Quelle proportion de la population faut-il vacciner pour protéger aussi ceux qui ne le sont pas ?
• Pourquoi une épidémie atteint-elle un pic puis décline-t-elle, avant même que tout le monde soit infecté ?
• Quelle proportion de la population une épidémie finit-elle par toucher ?
• Si la plupart des malades hospitalisés sont vaccinés, cela prouve-t-il que le vaccin ne marche pas ?

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