Question transversaleMathsSVTÉvolution et dérive génétique

Pourquoi une espèce réduite à quelques dizaines d'individus perd-elle sa diversité génétique ?

Q: Justifiez n ≈ 2N ln 2.

$ln(1-1/2N)≈-1/2N$, donc $n≈(-ln2)/(-1/(2N))=2Nln2$.

Q: Quelle diversité reste-t-il après 100 générations pour N = 25 ?

$0,98¹⁰⁰≈0,13$ : 13 % de la diversité initiale.

L'hétérozygotie diminue en moyenne d'un facteur (1 − 1/(2N)) à chaque génération : suite géométrique. Pour N = 50, elle est divisée par 2 en 69 générations ; pour N = 10, en 14. C'est un enjeu majeur de la conservation des espèces menacées.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai lu que tous les guépards actuels sont génétiquement très proches, comme s'ils étaient cousins, à cause d'un effondrement de leur population il y a des milliers d'années. En SVT, on parle de perte de diversité génétique. J'ai voulu chiffrer la vitesse de cette perte : elle suit une suite géométrique dont la raison dépend de la taille de la population.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser la perte d'hétérozygotie par une suite géométrique et calculer un temps de demi-vie avec le logarithme.

Mathématiques

Suites géométriques, limite (première, terminale)
Logarithme, demi-vie (terminale)
Approximation $ln (1 - x) \approx - x$ ln(1-x)≈-x (terminale)

Sciences de la vie et de la Terre

Diversité génétique, hétérozygotie, dérive (terminale)
Biodiversité et conservation (première, terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
L'hétérozygotie $H$ H mesure la diversité génétique : c'est la probabilité que deux copies d'un gène tirées au hasard soient différentes. Dans une population de $N$ N individus isolée, sans mutation ni migration, problématique : comment évolue-t-elle ?
2. Mathématiques : une suite géométrique
4 min
Deux copies d'un gène tirées dans la génération suivante proviennent de la même copie parentale avec la probabilité $\frac{1}{2 N}$ 1/2N : elles sont alors identiques. Sinon, elles sont différentes avec la probabilité $H_{n}$ Hₙ. D'où $H_{n + 1} = (1 - \frac{1}{2 N}) H_{n}$ Hₙ₊₁=(1-1/2N)Hₙ : suite géométrique de raison $1 - \frac{1}{2 N}$ 1-1/2N.
$H_{n} = H_{0} (1 - \frac{1}{2 N})^{n} \to 0$ Hₙ=H₀(1-1/2N)ⁿ→0 : la diversité finit par disparaître. Demi-vie : $(1 - \frac{1}{2 N})^{n} = \frac{1}{2} ⟺ n = \frac{l n 0 , 5}{l n ( 1 - \frac{1}{2 N} )} \approx 2 N ln 2 \approx 1, 4 N$ (1-1/2N)ⁿ=1/2⇔ n=ln0,5/(ln(1-1/2N))≈2Nln2≈1,4N.
Pour $N = 50$ N=50 : environ 69 générations. Pour $N = 10$ N=10 : 14 générations. Pour $N = 10000$ N=10 000 : près de 14 000 générations. La perte est proportionnelle à $\frac{1}{N}$ 1/N : elle est rapide dans les petites populations.
3. SVT : conservation des espèces
3 min
Une faible diversité réduit la capacité d'adaptation (moins de variants face à une maladie ou à un changement climatique) et augmente la consanguinité, qui révèle des allèles défavorables. Le guépard, passé par un goulot d'étranglement, illustre ce risque.
Les biologistes de la conservation utilisent ce type de calcul pour fixer des effectifs minimaux : une règle empirique est de maintenir au moins une centaine d'individus reproducteurs à court terme, et beaucoup plus à long terme. Ils relient des populations isolées (corridors, translocations), car quelques migrants par génération suffisent à freiner fortement la perte de diversité.
4. Conclusion
2 min
Une petite population perd sa diversité génétique selon une suite géométrique de raison $1 - \frac{1}{2 N}$ 1-1/2N : la moitié de l'hétérozygotie disparaît en environ $1, 4 N$ 1,4N générations. Plus l'espèce est réduite, plus la perte est rapide. J'ouvre sur les corridors écologiques, qui reconnectent des populations isolées.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

H_{n + 1} = (1 - \frac{1}{2 N}) H_{n} H_{n} = H_{0} (1 - \frac{1}{2 N})^{n} Hₙ₊₁=(1-1/2N)Hₙ Hₙ=H₀(1-1/2N)ⁿ n_{1/2} = \frac{ln 0 , 5}{ln ( 1 - \frac{1}{2 N} )} \approx 2 N ln 2 : N = 50 \Rightarrow 69, N = 10 \Rightarrow 14 n_1/2=ln0,5/(ln(1-1/2N))\approx2Nln2: N=50\Rightarrow69, N=10\Rightarrow14

Conclusion : la réponse à la question

La diversité génétique d'une population isolée décroît géométriquement, d'un facteur $1 - \frac{1}{2 N}$ 1-1/2N par génération : la demi-vie, environ $1, 4 N$ 1,4N générations, est courte pour les petites populations. Ce calcul guide les stratégies de conservation.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Justifiez n ≈ 2N ln 2.

$ln (1 - \frac{1}{2 N}) \approx - \frac{1}{2 N}$ ln(1-1/2N)≈-1/2N, donc $n \approx \frac{- l n 2}{- 1/ ( 2 N )} = 2 N ln 2$ n≈(-ln2)/(-1/(2N))=2Nln2.

Qu'est-ce qu'un goulot d'étranglement ?

Une réduction brutale et temporaire de l'effectif d'une population, qui fait perdre une grande partie de sa diversité.

Pourquoi les mutations ne compensent-elles pas cette perte ?

Elles sont trop rares : leur apport est négligeable dans une petite population à court terme.

Quelle diversité reste-t-il après 100 générations pour N = 25 ?

$0, 9 8^{100} \approx 0, 13$ 0,98¹⁰⁰≈0,13 : 13 % de la diversité initiale.

Qu'est-ce qu'un corridor écologique ?

Un espace qui relie des habitats et permet aux individus de circuler entre populations.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que la diversité se maintient dans une population stable.
Confondre nombre d'individus et nombre de copies du gène.
Oublier le rôle des migrations.

Revoir les notions

Autres questions : évolution et dérive génétique

Toutes les questions maths-svt →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-physique-chimie →Questions maths-SES →Questions maths-NSI →Questions maths-SI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →