Question transversaleMathsSVTÉvolution et dérive génétique

Combien de générations faut-il pour qu'un allèle avantageux se répande dans une population ?

Q: Démontrez que r est multiplié par 1 + s.

$rₙ₊₁=pₙ₊₁/(1-pₙ₊₁)=(pₙ(1+s))/(1-pₙ)=(1+s) rₙ$.

Q: Combien de générations avec s = 0,1 ?

$(ln9 801)/ln1,1≈96$ générations.

Si les porteurs d'un allèle ont un avantage de reproduction de 1 %, le rapport des fréquences p/q est multiplié par 1,01 à chaque génération : il faut ln(99²)/ln 1,01 ≈ 924 générations pour passer de 1 % à 99 %, un instant à l'échelle géologique.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Je me suis demandé comment de petits avantages, à peine perceptibles, peuvent transformer une espèce. Darwin lui-même s'en inquiétait : la sélection est-elle assez rapide ? En modélisant un allèle qui donne 1 % de descendants en plus, j'ai obtenu une suite dont le logarithme progresse régulièrement. Le résultat montre la puissance des effets cumulés.

L'enjeu et les notions du programme

Établir la récurrence des fréquences sous sélection, linéariser par le logarithme du rapport des fréquences et calculer une durée.

Mathématiques

Suites définies par récurrence (terminale)
Suites géométriques, logarithme (première, terminale)
Fonction logistique (ouverture)

Sciences de la vie et de la Terre

Sélection naturelle, valeur sélective (terminale)
Évolution des fréquences alléliques (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un allèle A apparaît avec une fréquence de 1 %. Les individus qui le portent laissent en moyenne 1 % de descendants de plus que les autres (avantage sélectif $s = 0, 01$ s=0,01). Problématique : en combien de générations A devient-il majoritaire ?
2. Mathématiques : la récurrence et son logarithme
4 min
Modèle simplifié (organismes haploïdes) : chaque génération, les porteurs de A sont multipliés par $1 + s$ 1+s, les autres par 1. La nouvelle fréquence est $p_{n + 1} = \frac{p _{n} ( 1 + s )}{p _{n} ( 1 + s ) + ( 1 - p _{n} )} = \frac{p _{n} ( 1 + s )}{1 + s p _{n}}$ pₙ₊₁=(pₙ(1+s))/(pₙ(1+s)+(1-pₙ))=(pₙ(1+s))/(1+spₙ).
Astuce : le rapport $r_{n} = \frac{p _{n}}{1 - p _{n}}$ rₙ=pₙ/(1-pₙ) est multiplié par $1 + s$ 1+s à chaque génération : $r_{n} = r_{0} (1 + s)^{n}$ rₙ=r₀(1+s)ⁿ, suite géométrique. On passe de $p = 0, 01$ p=0,01 ( $r = \frac{1}{99}$ r=1/99) à $p = 0, 99$ p=0,99 ( $r = 99$ r=99) quand $(1 + s)^{n} = 9 9^{2}$ (1+s)ⁿ=99², soit $n = \frac{l n ( 9 801 )}{l n 1 , 01} \approx 924$ n=(ln(9 801))/ln1,01≈924 générations.
La courbe de $p_{n}$ pₙ a une forme en S (logistique) : lente au début, rapide au milieu, lente à la fin. Pour des bactéries (une génération en 20 minutes), c'est une question de jours ; pour un mammifère, quelques milliers d'années, un instant à l'échelle de l'évolution.
3. SVT : sélection et adaptation
3 min
Ce calcul montre qu'un avantage minime, invisible à l'échelle d'une vie, suffit à transformer une population en quelques centaines ou milliers de générations. Exemples observés : la phalène du bouleau, dont la forme sombre s'est répandue dans l'Angleterre industrielle, ou la tolérance au lactose chez l'adulte, répandue dans certaines populations humaines depuis quelques milliers d'années.
Le modèle suppose une population grande (pas de dérive) et un avantage constant. Dans la réalité, l'environnement change, et un allèle rare peut d'abord être perdu par hasard avant de s'établir.
4. Conclusion
2 min
Un allèle avantageux se répand en quelques centaines ou milliers de générations : le rapport des fréquences croît géométriquement, d'où une durée proportionnelle à $\frac{1}{l n ( 1 + s )} \approx \frac{1}{s}$ 1/(ln(1+s))≈1/s. Les petits avantages cumulés sont le moteur de l'adaptation. J'ouvre sur la résistance des bactéries aux antibiotiques, exemple de sélection très rapide.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

p_{n + 1} = \frac{p _{n} ( 1 + s )}{1 + s p _{n}} r_{n} = \frac{p _{n}}{1 - p _{n}} = r_{0} (1 + s)^{n} pₙ₊₁=(pₙ(1+s))/(1+s pₙ) rₙ=pₙ/(1-pₙ)=r₀(1+s)ⁿ \frac{1}{99} \times 1, 0 1^{n} = 99 ⟺ n = \frac{ln 9 801}{ln 1 , 01} \approx 924 1/99\times1,01ⁿ=99\Leftrightarrow n=(ln9 801)/ln1,01\approx924

Conclusion : la réponse à la question

Sous sélection, le rapport des fréquences d'un allèle avantageux croît géométriquement : un avantage de 1 % suffit à le faire passer de 1 % à 99 % en environ 924 générations. Le logarithme transforme cette dynamique en S en une progression régulière.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Démontrez que r est multiplié par 1 + s.

$r_{n + 1} = \frac{p _{n + 1}}{1 - p _{n + 1}} = \frac{p _{n} ( 1 + s )}{1 - p _{n}} = (1 + s) r_{n}$ rₙ₊₁=pₙ₊₁/(1-pₙ₊₁)=(pₙ(1+s))/(1-pₙ)=(1+s) rₙ.

Combien de générations avec s = 0,1 ?

$\frac{l n 9 801}{l n 1 , 1} \approx 96$ (ln9 801)/ln1,1≈96 générations.

Qu'est-ce que la valeur sélective ?

La capacité d'un individu à survivre et à laisser des descendants, comparée à celle des autres.

Pourquoi la courbe a-t-elle une forme en S ?

Au début, l'allèle est rare ; à la fin, presque tout le monde l'a déjà : la progression est rapide au milieu.

Un allèle avantageux est-il toujours conservé ?

Non : tant qu'il est rare, la dérive peut l'éliminer par hasard.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que la sélection exige un avantage spectaculaire.
Additionner l'avantage au lieu de le multiplier.
Oublier le rôle du hasard quand l'allèle est rare.

Revoir les notions

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