Question transversaleMathsSVTDatation et géologie

Avec quelle précision peut-on dater une roche de plusieurs milliards d'années ?

Q: Pourquoi l'erreur relative sur t est-elle proche de celle sur r ?

Pour $r$ petit, $ln(1+r)≈ r$ : $t$ est presque proportionnel à $r$.

Q: Qu'est-ce qu'une approximation affine ?

L'approximation $f(a+h)≈ f(a)+f'(a)h$, valable pour $h$ petit.

L'âge vaut t = ln(1 + r)/λ, où r est le rapport fils/père ; une erreur Δr se propage en Δt ≈ Δr/(λ(1 + r)). Pour la méthode Rb-Sr avec r = 0,05 mesuré à 0,0005 près, Δt ≈ 34 millions d'années, soit 1 % de l'âge : la dérivée du logarithme mesure la sensibilité.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans un manuel de SVT, une roche était datée de « 3,43 ± 0,03 milliards d'années ». Je me suis demandé d'où venait cette incertitude, alors que la mesure en laboratoire semble très précise. J'ai découvert qu'une petite erreur sur un rapport d'isotopes devient une erreur de dizaines de millions d'années, et que la dérivée du logarithme permet de le calculer.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la dérivée et l'approximation affine pour propager une incertitude à travers une formule logarithmique.

Mathématiques

Dérivée de $x \mapsto ln (1 + x)$ x↦ln(1+x), approximation affine (première, terminale)
Incertitudes relatives et absolues (seconde)

Sciences de la vie et de la Terre

Radiochronologie, mesures isotopiques (terminale)
Démarche scientifique, incertitudes (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
L'âge d'une roche s'obtient par $t = \frac{l n ( 1 + r )}{λ}$ t=fracln(1+r)λ, où $r$ r est le rapport entre la quantité d'élément fils formé et la quantité d'élément père restant. Problématique : comment une incertitude sur $r$ r se répercute-t-elle sur l'âge ?
2. Mathématiques : propager l'incertitude
4 min
La fonction $f (r) = \frac{l n ( 1 + r )}{λ}$ f(r)=(ln(1+r))/λ a pour dérivée $f^{'} (r) = \frac{1}{λ ( 1 + r )}$ f'(r)=1/(λ(1+r)). Par approximation affine, une erreur $Δ r$ Δ r produit une erreur $Δ t \approx f^{'} (r) Δ r = \frac{Δ r}{λ ( 1 + r )}$ Δ t≈ f'(r) Δ r=(Δ r)/(λ(1+r)).
Méthode Rb-Sr : $λ = 1, 42 \times 1 0^{- 11}$ λ=1,42×10⁻¹¹ an⁻¹, $r = 0, 05$ r=0,05 (âge $\approx 3, 4$ ≈3,4 milliards d'années), mesuré à $Δ r = 0, 0005$ Δ r=0,0005 près. $Δ t \approx \frac{0 , 0005}{1 , 42 \times 1 0 ^{- 11} \times 1 , 05} \approx 3, 4 \times 1 0^{7}$ Δ t≈0,0005/1,42×10⁻¹¹×1,05≈3,4×10⁷ ans. L'âge est connu à environ 34 millions d'années près, soit 1 % : l'erreur relative sur $r$ r (1 %) se retrouve presque telle quelle sur $t$ t quand $r$ r est petit, car $ln (1 + r) \approx r$ ln(1+r)≈ r.
Pour un chronomètre de demi-vie plus courte, $λ$ λ est plus grand et $Δ t$ Δ t plus petit : la précision absolue dépend du choix du couple père-fils.
3. SVT : réduire et annoncer l'incertitude
3 min
Les géochimistes réduisent l'incertitude en multipliant les mesures (la méthode des isochrones utilise plusieurs minéraux), en croisant plusieurs chronomètres (uranium 235 et uranium 238 dans les zircons) et en améliorant les instruments.
Annoncer un âge sans incertitude n'aurait pas de sens scientifique : « ± 0,03 milliard d'années » indique la fiabilité de la mesure et permet de comparer des résultats. Deux âges dont les intervalles se recouvrent sont compatibles.
4. Conclusion
2 min
La précision d'une datation se calcule par la dérivée de la formule de l'âge : une erreur de 1 % sur le rapport isotopique donne ici environ 34 millions d'années d'incertitude sur 3,4 milliards. La dérivée est l'outil de la propagation des incertitudes. J'ouvre sur les datations croisées par plusieurs chronomètres.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

t = \frac{ln ( 1 + r )}{λ} Δ t \approx \frac{Δ r}{λ ( 1 + r )} t=(ln(1+r))/λ Δ t\approx(Δ r)/(λ(1+r)) \frac{0 , 0005}{1 , 42 \times 1 0 ^{- 11} \times 1 , 05} \approx 3, 4 \times 1 0^{7} ans (\approx 1 %) 0,0005/1,42\times10⁻¹¹\times1,05\approx3,4\times10⁷ ans (\approx1 %)

Conclusion : la réponse à la question

L'incertitude d'un âge radiométrique se déduit de celle du rapport isotopique par la dérivée de la formule de l'âge : $Δ t \approx \frac{Δ r}{λ ( 1 + r )}$ Δ t≈(Δ r)/(λ(1+r)). Elle est de l'ordre de 1 % pour une roche de plusieurs milliards d'années mesurée avec soin.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Dérivez ln(1 + r).

$\frac{1}{1 + r}$ 1/(1+r).

Pourquoi l'erreur relative sur t est-elle proche de celle sur r ?

Pour $r$ r petit, $ln (1 + r) \approx r$ ln(1+r)≈ r : $t$ t est presque proportionnel à $r$ r.

Deux âges 3,43 ± 0,03 et 3,48 ± 0,03 Ga sont-ils compatibles ?

Leurs intervalles [3,40 ; 3,46] et [3,45 ; 3,51] se recouvrent : ils sont compatibles.

Comment réduire l'incertitude ?

Multiplier les mesures et les minéraux, croiser plusieurs chronomètres, améliorer la précision des instruments.

Que deviendrait l'incertitude avec Δr = 0,002 ?

Quatre fois plus grande : environ 134 millions d'années, soit 4 % de l'âge. La précision de la mesure isotopique est décisive.

Qu'est-ce qu'une approximation affine ?

L'approximation $f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h$ f(a+h)≈ f(a)+f'(a)h, valable pour $h$ h petit.

Les pièges qui coûtent des points

Annoncer un âge sans incertitude.
Oublier le facteur 1/(1 + r).
Confondre incertitude absolue et relative.

Revoir les notions

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