Question transversaleMathsSVTPopulations et écosystèmes

Pourquoi les populations de lièvres et de lynx oscillent-elles en cycles ?

Q: Vérifiez l'équilibre.

$x'=x(1-0,02×50)=0$ et $y'=y(-0,5+0,01×50)=0$.

Dans le modèle de Lotka-Volterra, les proies croissent en l'absence de prédateurs et les prédateurs déclinent sans proies ; les interactions créent des cycles décalés autour d'un équilibre (c/d ; a/b). Une simulation par la méthode d'Euler en Python fait apparaître ces oscillations.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai découvert que les registres de la Compagnie de la baie d'Hudson, qui achetait des fourrures au Canada, montrent des cycles d'environ dix ans : les captures de lièvres et de lynx montent et descendent, avec un décalage. En SVT, on étudie les relations entre espèces. Le modèle de Lotka-Volterra, deux équations couplées, reproduit ces cycles, que l'on peut simuler pas à pas.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une interaction par un système d'équations, déterminer un équilibre et simuler l'évolution par une méthode itérative.

Mathématiques

Systèmes d'équations, point d'équilibre (seconde)
Méthode d'Euler, suites définies par récurrence (première, terminale)
Algorithmique en Python (première)

Sciences de la vie et de la Terre

Relations entre espèces : prédation, réseaux trophiques (première)
Dynamique des populations dans un écosystème (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Les lièvres se reproduisent et sont mangés par les lynx ; les lynx ont besoin de lièvres pour survivre et se reproduire. Problématique : comment ces deux populations évoluent-elles ensemble ?
2. Mathématiques : un système couplé
4 min
On note $x$ x les proies et $y$ y les prédateurs. Lotka et Volterra proposent : $x^{'} = a x - b x y$ x'=ax-bxy (les proies croissent, mais sont mangées à un rythme proportionnel aux rencontres $x y$ xy) et $y^{'} = - cy + d x y$ y'=-cy+dxy (les prédateurs meurent sans proies, et se reproduisent grâce aux rencontres).
Équilibre : $x^{'} = 0$ x'=0 et $y^{'} = 0$ y'=0 avec $x, y > 0$ x,y>0 donnent $y = \frac{a}{b}$ y=a/b et $x = \frac{c}{d}$ x=c/d. Avec $a = 1$ a=1, $b = 0, 02$ b=0,02, $c = 0, 5$ c=0,5, $d = 0, 01$ d=0,01 : 50 proies et 50 prédateurs.
Hors équilibre, on simule avec la méthode d'Euler : $x_{k + 1} = x_{k} + h (a x_{k} - b x_{k} y_{k})$ xₖ₊₁=xₖ+h(axₖ-bxₖyₖ), $y_{k + 1} = y_{k} + h (- c y_{k} + d x_{k} y_{k})$ yₖ₊₁=yₖ+h(-cyₖ+dxₖyₖ), avec un petit pas $h$ h. Les courbes oscillent : quand les proies abondent, les prédateurs se multiplient ; ils font alors baisser les proies, puis déclinent faute de nourriture, ce qui permet aux proies de remonter. Le pic des prédateurs suit celui des proies.
3. SVT : réalité et limites
3 min
Les cycles du lièvre d'Amérique et du lynx sont l'exemple classique, mais leur explication est plus complexe : la qualité de la nourriture des lièvres et d'autres prédateurs jouent aussi. Le modèle ne tient pas compte de la capacité du milieu pour les proies, ni du hasard.
Il éclaire pourtant des phénomènes importants : la régulation mutuelle des populations, et les effets parfois contre-intuitifs des interventions humaines. Volterra l'avait conçu pour expliquer pourquoi la proportion de poissons prédateurs avait augmenté en Adriatique pendant la Première Guerre mondiale, quand la pêche s'était arrêtée.
4. Conclusion
2 min
Les populations de proies et de prédateurs oscillent parce que chacune régule l'autre avec un décalage : le modèle de Lotka-Volterra, simulé par la méthode d'Euler, produit des cycles autour d'un équilibre $(\frac{c}{d}; \frac{a}{b})$ (c/d;a/b). J'ouvre sur les modèles plus réalistes, qui ajoutent une capacité de charge pour les proies.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

x^{'} = a x - b x y, y^{'} = - cy + d x y x'=ax-bxy, y'=-cy+dxy \overset{e}{ˊ} quilibre : x^{*} = \frac{c}{d} = 50, y^{*} = \frac{a}{b} = 50 équilibre : x^(*)=c/d=50, y^(*)=a/b=50 x_{k + 1} = x_{k} + h (a x_{k} - b x_{k} y_{k}), y_{k + 1} = y_{k} + h (- c y_{k} + d x_{k} y_{k}) xₖ₊₁=xₖ+h(axₖ-bxₖyₖ), yₖ₊₁=yₖ+h(-cyₖ+dxₖyₖ)

Conclusion : la réponse à la question

Le modèle de Lotka-Volterra décrit deux populations qui se régulent mutuellement : ses solutions oscillent autour d'un équilibre, avec un décalage entre proies et prédateurs. La méthode d'Euler permet de les simuler simplement.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi le terme xy ?

Le nombre de rencontres entre proies et prédateurs est proportionnel au produit des deux effectifs.

Vérifiez l'équilibre.

$x^{'} = x (1 - 0, 02 \times 50) = 0$ x'=x(1-0,02×50)=0 et $y^{'} = y (- 0, 5 + 0, 01 \times 50) = 0$ y'=y(-0,5+0,01×50)=0.

Pourquoi le pic des prédateurs suit-il celui des proies ?

Les prédateurs ont besoin de temps pour se reproduire après l'abondance de proies.

Que se passe-t-il si l'on élimine une partie des deux espèces ?

Dans le modèle, cela favorise relativement les proies (effet de Volterra), ce qui peut être contre-intuitif.

Pourquoi un petit pas h dans la méthode d'Euler ?

L'approximation par la tangente n'est bonne que sur de petits intervalles ; un pas trop grand déforme les cycles.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que les deux populations atteignent un équilibre stable.
Utiliser un pas trop grand dans la simulation.
Présenter le modèle comme une description exacte des lièvres et des lynx.

Revoir les notions

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