Comment décrire la croissance d'une population qui finit par se stabiliser ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Après les bactéries en croissance exponentielle, nous avons observé en TP que la population cessait d'augmenter au bout d'un moment. En SVT, on parle de capacité de charge du milieu. Le mathématicien belge Verhulst a proposé dès 1838 un modèle qui ralentit la croissance quand la population approche de cette limite. Je voulais comprendre ce modèle et la forme en S de sa courbe.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une suite définie par récurrence qui modélise une croissance limitée, identifier son point fixe et interpréter une courbe en S.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Une population de 10 individus est introduite dans un milieu qui peut en nourrir au plus $K=1000$K=1 000. Problématique : comment modéliser une croissance qui ralentit jusqu'à se stabiliser ?

2. 2. Mathématiques : le modèle de Verhulst

   4 min

   On pose $N_{n+1}=N_n+r{N}_n\left(1-\frac{N_n}{K}\right)$Nₙ₊₁=Nₙ+rNₙ(1-Nₙ/K) avec $r=0,5$r=0,5. Quand $N_n$Nₙ est petit, le facteur $1-\frac{N_n}{K}$1-Nₙ/K vaut presque 1 : la population est presque multipliée par 1,5, croissance quasi exponentielle. Quand $N_n$Nₙ approche $K$K, l'accroissement tend vers 0.

   Points fixes : $rN\left(1-\frac{N}{K}\right)=0⟺N=0$rN(1-N/K)=0⇔ N=0 ou $N=K$N=K. La simulation donne 10 ; 72,7 ($n=5$n=5) ; 410 ($n=10$n=10) ; 919 ($n=15$n=15) ; 997 ($n=20$n=20) : la suite converge vers $K$K.

   L'accroissement $g(N)=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)$g(N)=rN(1-N/K) est un trinôme maximal en $N=\frac{K}{2}$N=K/2 : la croissance est la plus rapide quand la population atteint la moitié de la capacité. La courbe de $N$N en fonction du temps est donc en S, avec un point d'inflexion à $\frac{K}{2}$K/2. En temps continu, la solution est $N(t)=\frac{K}{1+A{e}^{-rt}}$N(t)=K/(1+Ae^(-rt)).

3. 3. SVT : un modèle et ses limites

   3 min

   Le modèle logistique décrit bien des populations de laboratoire (levures, paramécies) et certaines populations naturelles introduites dans un nouveau milieu. Il traduit la compétition pour les ressources : plus les individus sont nombreux, moins chacun dispose de nourriture et d'espace.

   Ses limites : la capacité $K$K peut varier avec le climat, les prédateurs n'y figurent pas, et pour des taux $r$r élevés, la version discrète produit des oscillations, voire un comportement chaotique, observé chez certaines populations d'insectes.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Le modèle de Verhulst décrit une croissance qui ralentit à l'approche de la capacité du milieu : la suite converge vers $K$K, avec une croissance maximale à $\frac{K}{2}$K/2 et une courbe en S. J'ouvre sur les oscillations et le chaos qui apparaissent quand le taux de croissance est très élevé.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre la courbe de N (en S) et celle de l'accroissement (en cloche).
• Oublier que K dépend du milieu.
• Croire que le modèle discret converge pour tout r.

Revoir les notions

• Suites : récurrence et limites (Terminale spé maths) →
• Second degré (Première spé maths) →

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