Comment compter les poissons d'un lac sans tous les pêcher ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP de SVT, on nous a présenté la méthode de « capture-marquage-recapture » pour estimer la population d'une espèce animale. L'idée semblait magique : marquer quelques individus suffit à estimer le total. En mathématiques, c'est une estimation par proportion, comme un sondage, avec une incertitude que l'on peut calculer.

L'enjeu et les notions du programme

Estimer un effectif total à partir d'une proportion observée dans un échantillon, et quantifier l'incertitude par un intervalle.

Le plan de l'exposé en 9,5 min

1. 1. Introduction

   1 min

   On capture 100 poissons dans un lac, on les marque et on les relâche. Quelques jours plus tard, on en capture 80, parmi lesquels 10 sont marqués. Problématique : combien y a-t-il de poissons dans le lac, et avec quelle précision ?

2. 2. Mathématiques : l'estimateur de Lincoln-Petersen

   4 min

   Si les poissons marqués se sont bien mélangés, la proportion de marqués dans le second échantillon estime la proportion de marqués dans le lac : $\frac{10}{80}\approx \frac{100}{N}$10/80≈100/N. D'où $N\approx \frac{100\times 80}{10}=800$N≈100×80/10=800.

   Incertitude : la proportion observée $f=0,125$f=0,125 est estimée sur 80 poissons. Un intervalle de confiance approché à 95 % est $\left[f-\frac{1}{\sqrt{80}};f+\frac{1}{\sqrt{80}}\right]\approx [0,013;0,237]$[f-1/√(80);f+1/√(80)]≈[0,013;0,237]. Comme $N=\frac{100}{p}$N=100/p est une fonction décroissante de $p$p, l'intervalle pour $N$N est environ $\left[\frac{100}{0,237};\frac{100}{0,013}\right]\approx [420;7700]$[100/0,237;100/0,013]≈[420;7 700] : très large. Un calcul plus fin (loi binomiale) donne un intervalle d'environ 470 à 2 700.

   Pour une estimation précise, il faut plus de recaptures marquées : avec 400 poissons capturés dont 50 marqués, l'intervalle se resserre nettement.

3. 3. SVT : hypothèses de la méthode

   3 min

   La méthode suppose une population fermée (pas de naissances, de morts ou de migrations entre les deux captures), un bon mélange des individus marqués, des marques qui ne se perdent pas et une même probabilité de capture pour tous. Si les poissons marqués évitent ensuite les filets, on surestime $N$N.

   Malgré ces limites, elle est très utilisée pour suivre des populations (oiseaux bagués, papillons, poissons), et sert à évaluer l'état de conservation des espèces et l'effet des mesures de protection.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   On compte les poissons d'un lac par une proportion : celle des marqués dans un second échantillon estime celle du lac, d'où $N\approx \frac{MC}{R}=800$NapproxMC/R=800. L'incertitude, importante avec peu de recaptures, se calcule comme celle d'un sondage. J'ouvre sur les méthodes d'ADN environnemental, qui détectent les espèces à partir de traces dans l'eau.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Oublier l'hypothèse de mélange des individus marqués.
• Présenter l'estimation sans incertitude.
• Inverser le rapport dans la formule.

Revoir les notions

• Échantillonnage et fluctuation (Seconde) →
• Fonction carré et fonction inverse (Seconde) →

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