Pourquoi une population ne peut-elle pas croître de manière exponentielle indéfiniment ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP de SVT, nous avons observé des bactéries se multiplier dans une boîte de culture : le nombre doublait à intervalles réguliers. Je me suis demandé ce qui se passerait si cela continuait. Le calcul, une simple puissance de 2, donne un résultat absurde en une journée. J'ai voulu comprendre ce que la croissance exponentielle nous apprend, et pourquoi elle s'arrête toujours.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une croissance par doublements successifs (suite géométrique, exponentielle) et utiliser un ordre de grandeur pour montrer les limites du modèle.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Dans un milieu favorable, une bactérie comme E. coli peut se diviser toutes les 20 minutes. Problématique : que donnerait une croissance qui se poursuivrait sans limite, et que nous apprend ce calcul ?

2. 2. Mathématiques : des doublements successifs

   4 min

   Après $n$n divisions, une bactérie donne $2^n$2ⁿ cellules : suite géométrique de raison 2. En 24 heures, il y a $\frac{24\times 60}{20}=72$24×60/20=72 doublements : $2^{72}\approx 4,7\times 10^{21}$2⁷²≈4,7×10²¹ bactéries.

   Une bactérie pèse environ $10^{-12}$10⁻¹² g : la masse totale serait de $4,7\times 10^9$4,7×10⁹ g, soit environ 4 700 tonnes, en une journée, à partir d'une seule cellule. En deux jours, plus que la masse de la Terre. Le modèle devient absurde très vite.

   En temps continu, $N(t)=N_0{e}^{rt}$N(t)=N₀e^(rt) avec $r=\frac{\ln 2}{20}$r=ln2/20 par minute : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, et aucune ressource finie ne peut la suivre. Malthus (1798) opposait déjà une population qui croît géométriquement à des subsistances qui croissent arithmétiquement : la première finit toujours par dépasser la seconde.

3. 3. SVT : les limites du milieu

   3 min

   Dans la réalité, la croissance exponentielle ne dure que pendant la phase où les ressources sont abondantes. Ensuite, le manque de nutriments, l'accumulation de déchets toxiques et la compétition ralentissent la croissance : on observe une phase stationnaire, puis souvent un déclin.

   Toutes les populations, des bactéries aux humains, sont soumises à ces limites. La notion de capacité de charge d'un milieu, le nombre maximal d'individus qu'il peut soutenir durablement, est centrale en écologie, et a conduit au modèle logistique.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Une population ne peut pas croître exponentiellement indéfiniment, car la croissance par doublements conduit très vite à des effectifs impossibles : une seule bactérie donnerait des milliers de tonnes en une journée. Les ressources limitent toujours la croissance. J'ouvre sur le modèle logistique de Verhulst, qui intègre cette limite.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre 2⁷² et 72².
• Croire que la croissance exponentielle peut durer.
• Oublier que le temps de doublement dépend des conditions.

Revoir les notions

• Suites arithmétiques et géométriques (Première spé maths) →
• Fonction exponentielle (Terminale spé maths) →

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