Vérifiez l'aire de l'anneau entre $t$ et $t+h$.

Exactement $π(t+h)²-π t²=2π th+π h²$, qui est bien entre $2π th$ et $2π(t+h)h=2π th+2π h²$.

Question de mathsMathsIntégration

Comment démontrer que l'aire d'un disque vaut πr² ?

Q: Et l'aire d'une couronne entre les rayons 3 et 5 ?

$∫₃⁵2π t dt=π(25-9)=16π$.

Q: Peut-on calculer le volume d'une boule de la même façon ?

Oui, en sommant des couches sphériques d'aire $4π t²$ : $∫₀^(r)4π t² dt=4/3π r³$, à condition d'admettre l'aire de la sphère.

En découpant un disque en anneaux concentriques d'épaisseur dt, chaque anneau a une aire proche de 2πt dt ; l'intégrale de 2πt entre 0 et r donne πr². Le périmètre et l'aire du cercle sont liés par une primitive.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Depuis le collège, j'applique la formule $π r^{2}$ π r² sans savoir d'où elle vient. En étudiant l'intégration, je me suis demandé si l'on pouvait la démontrer. J'ai découvert une démonstration élégante qui découpe le disque comme un oignon, et qui montre un lien inattendu entre le périmètre et l'aire.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser l'intégrale comme somme de petits éléments pour démontrer une formule géométrique connue, et relier deux formules par la dérivation.

Mathématiques

Intégrale comme limite de sommes (terminale)
Primitives des fonctions puissances (terminale)
Encadrement d'une intégrale par des sommes (terminale)
Dérivation et interprétation d'un taux de variation (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une formule jamais démontrée
1,5 min
On admet que le périmètre d'un cercle de rayon $t$ t vaut $2 π t$ 2π t : c'est la définition de $π$ π. Problématique : peut-on en déduire l'aire du disque, $π r^{2}$ π r² ?
2. Découper en anneaux
4 min
On découpe le disque de rayon $r$ r en $n$ n anneaux concentriques d'épaisseur $h = \frac{r}{n}$ h=r/n. L'anneau compris entre les rayons $t$ t et $t + h$ t+h a une aire comprise entre celle d'une bande de longueur $2 π t$ 2π t et celle d'une bande de longueur $2 π (t + h)$ 2π(t+h), de largeur $h$ h : $2 π t h \leq aire \leq 2 π (t + h) h$ 2π t h≤ aire ≤2π(t+h) h.
En additionnant, l'aire du disque est encadrée par deux sommes de rectangles de la fonction $t \mapsto 2 π t$ t↦2π t sur $[0; r]$ [0;r], dont l'écart vaut $2 π r \times h \to 0$ 2π r× h→0. L'aire vaut donc $\int_{0}^{r} 2 π t d t$ ∫₀^(r)2π t dt.
3. Calculer et interpréter
3 min
Une primitive de $2 π t$ 2π t est $π t^{2}$ π t² : $\int_{0}^{r} 2 π t d t = π r^{2}$ ∫₀^(r)2π t dt=π r².
Interprétation : la dérivée de l'aire $A (r) = π r^{2}$ A(r)=π r² est $A^{'} (r) = 2 π r$ A'(r)=2π r, le périmètre. Quand le rayon augmente de $h$ h, l'aire augmente d'environ $2 π r \times h$ 2π r× h : on ajoute une fine couche le long du bord. On retrouve le même lien pour la sphère : la dérivée du volume $\frac{4}{3} π r^{3}$ 4/3π r³ est l'aire $4 π r^{2}$ 4π r².
4. Conclusion
1,5 min
L'aire d'un disque se démontre à partir de son périmètre : en sommant des anneaux de largeur infinitésimale, on obtient $\int_{0}^{r} 2 π t d t = π r^{2}$ ∫₀^(r)2π t dt=π r². Le périmètre est la dérivée de l'aire. J'ouvre sur la démonstration d'Archimède, qui découpe le disque en triangles et obtient un triangle de base $2 π r$ 2π r et de hauteur $r$ r.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

2 π t h \leq aire de l’anneau \leq 2 π (t + h) h 2π t h \leq aire de l'anneau \leq 2π(t+h) h A = \int_{0}^{r} 2 π t d t = [π t^{2}]_{0}^{r} = π r^{2} A^{'} (r) = 2 π r = p \overset{e}{ˊ} rim \overset{e}{ˋ} tre A=\int₀^(r)2π t dt=Bigl[π t²Bigr]₀^(r)=π r² A'(r)=2π r= périmètre

Conclusion : la réponse à la question

L'aire d'un disque, $π r^{2}$ π r², découle de son périmètre $2 π r$ 2π r par intégration : le disque est une superposition d'anneaux. Cette démonstration illustre l'idée centrale de l'intégrale, une somme d'une infinité de petits éléments.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez l'aire de l'anneau entre

t

t et

t + h

t+h.

Exactement $π (t + h)^{2} - π t^{2} = 2 π t h + π h^{2}$ π(t+h)²-π t²=2π th+π h², qui est bien entre $2 π t h$ 2π th et $2 π (t + h) h = 2 π t h + 2 π h^{2}$ 2π(t+h)h=2π th+2π h².

Qu'est-ce que π, précisément ?

Le rapport constant entre le périmètre d'un cercle et son diamètre. Qu'il soit constant vient de ce que tous les cercles sont semblables.

Comment encadrer π ?

Avec des polygones inscrits et circonscrits (Archimède) : avec 96 côtés, $3 + \frac{10}{71} < π < 3 + \frac{1}{7}$ 3+10/71<π<3+1/7.

Et l'aire d'une couronne entre les rayons 3 et 5 ?

$\int_{3}^{5} 2 π t d t = π (25 - 9) = 16 π$ ∫₃⁵2π t dt=π(25-9)=16π.

Peut-on calculer le volume d'une boule de la même façon ?

Oui, en sommant des couches sphériques d'aire $4 π t^{2}$ 4π t² : $\int_{0}^{r} 4 π t^{2} d t = \frac{4}{3} π r^{3}$ ∫₀^(r)4π t² dt=4/3π r³, à condition d'admettre l'aire de la sphère.

Les pièges qui coûtent des points

Admettre l'aire du disque dans la démonstration (raisonnement circulaire).
Oublier de justifier que l'écart entre les deux sommes tend vers 0.
Confondre périmètre et aire dans l'interprétation.

Revoir les notions

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Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

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