Démontrez par récurrence $1²+…+n²=(n(n+1)(2n+1))/6$.

Vrai pour $n=1$. Si c'est vrai au rang $n$, on ajoute $(n+1)²$ : $(n(n+1)(2n+1)+6(n+1)²)/6=((n+1)(2n²+7n+6))/6=((n+1)(n+2)(2n+3))/6$.

Calculez l'aire entre les courbes de $x$ et $x²$ sur $[0;1]$.

$∫₀¹(x-x²) dx=1/2-1/3=1/6$, car $x≥ x²$ sur $[0;1]$.

Question de mathsMathsIntégration

Comment calculer l'aire d'une surface délimitée par une courbe ?

Q: Que représente une intégrale négative ?

Si $f$ est négative, l'intégrale est l'opposé de l'aire entre la courbe et l'axe. En général, l'intégrale compte positivement les parties au-dessus de l'axe et négativement celles en dessous : c'est une aire algébrique.

Q: Quelle est l'erreur de la méthode des rectangles ?

Ici $Sₙ-sₙ=1/n$ : l'erreur est au plus $1/n$. Pour une précision de $10⁻³$, il faut 1 000 rectangles.

En découpant la surface sous y = x² en rectangles de plus en plus fins, les sommes encadrent l'aire et convergent vers 1/3 ; le théorème fondamental de l'analyse donne ce résultat en une ligne grâce à une primitive.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Au collège, on sait calculer l'aire d'un rectangle, d'un triangle, d'un disque, mais pas celle d'une surface délimitée par une courbe quelconque. Quand j'ai découvert en terminale que l'intégrale résout ce problème, j'ai voulu comprendre comment on passe d'une somme de rectangles à un calcul exact, et pourquoi les primitives interviennent.

L'enjeu et les notions du programme

Construire la notion d'intégrale comme limite de sommes de rectangles, puis la relier aux primitives par le théorème fondamental de l'analyse.

Mathématiques

Intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la courbe (terminale)
Méthode des rectangles et encadrement d'une intégrale (terminale)
Primitives et calcul $\int_{a}^{b} f = F (b) - F (a)$ ∫ₐ^(b)f=F(b)-F(a) (terminale)
Somme des carrés $1^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ 1²+…+n²=(n(n+1)(2n+1))/6 par récurrence (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : un problème ancien
1,5 min
Archimède calculait déjà l'aire d'un segment de parabole par des découpages ingénieux. Problématique : comment calculer l'aire sous la courbe de $f (x) = x^{2}$ f(x)=x² entre 0 et 1, et plus généralement sous n'importe quelle courbe ?
2. Encadrer par des rectangles
4 min
On découpe $[0; 1]$ [0;1] en $n$ n bandes de largeur $\frac{1}{n}$ 1/n. Comme $f$ f est croissante, l'aire de la bande $k$ k est comprise entre $\frac{1}{n} (\frac{k - 1}{n})^{2}$ 1/n((k-1)/n)² et $\frac{1}{n} (\frac{k}{n})^{2}$ 1/n(k/n)².
En additionnant : $s_{n} \leq A \leq S_{n}$ sₙ≤ A≤ Sₙ, avec $S_{n} = \frac{1}{n ^{3}} (1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}) = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{2}}$ Sₙ=1/n³(1²+2²+…+n²)=((n+1)(2n+1))/6n² et $s_{n} = S_{n} - \frac{1}{n}$ sₙ=Sₙ-1/n.
Quand $n \to + \infty$ n→+∞, $S_{n} \to \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ Sₙ→2/6=1/3 et $s_{n} \to \frac{1}{3}$ sₙ→1/3 : l'aire est exactement $\frac{1}{3}$ 1/3. Pour $n = 10$ n=10, on obtient déjà $0, 285 \leq A \leq 0, 385$ 0,285≤ A≤0,385.
3. Le raccourci : le théorème fondamental
3 min
Le théorème fondamental de l'analyse dit que, pour $f$ f continue, $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ ∫ₐ^(b)f(x) dx=F(b)-F(a), où $F$ F est une primitive de $f$ f. Ici, $F (x) = \frac{x ^{3}}{3}$ F(x)=x³/3, donc $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ ∫₀¹x² dx=1/3-0=1/3.
Le calcul de limite de sommes, long et spécifique à chaque fonction, est remplacé par la recherche d'une primitive. C'est la découverte majeure de Newton et Leibniz : intégrer, c'est inverser la dérivation.
4. Conclusion
1,5 min
On calcule l'aire sous une courbe comme la limite de sommes de rectangles de plus en plus fins, et le théorème fondamental la ramène au calcul d'une primitive. J'ouvre sur les fonctions sans primitive explicite, comme $e^{- x^{2}}$ e^(-x²), pour lesquelles on revient aux rectangles avec un ordinateur.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

S_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n (\frac{k}{n})^{2} = \frac{1}{n ^{3}} \times \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{2}} n \to + \infty \frac{1}{3} Sₙ=1/nΣ_k=1ⁿ(k/n)²=1/n³\times(n(n+1)(2n+1))/6=((n+1)(2n+1))/6n² \to 1/3 s_{n} = S_{n} - \frac{1}{n} \leq A \leq S_{n} \int_{0}^{1} x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} sₙ=Sₙ-1/n\leq A\leq Sₙ \int₀¹x² dx=[x³/3]₀¹=1/3

Conclusion : la réponse à la question

L'aire sous une courbe est la limite des sommes de rectangles qui l'encadrent : c'est la définition de l'intégrale. Le théorème fondamental de l'analyse permet ensuite de la calculer avec une primitive, ce qui transforme un problème géométrique en un problème de dérivation à l'envers.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Démontrez par récurrence

1^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

1²+…+n²=(n(n+1)(2n+1))/6.

Vrai pour $n = 1$ n=1. Si c'est vrai au rang $n$ n, on ajoute $(n + 1)^{2}$ (n+1)² : $\frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) + 6 ( n + 1 ) ^{2}}{6} = \frac{( n + 1 ) ( 2 n ^{2} + 7 n + 6 )}{6} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 ) ( 2 n + 3 )}{6}$ (n(n+1)(2n+1)+6(n+1)²)/6=((n+1)(2n²+7n+6))/6=((n+1)(n+2)(2n+3))/6.

Que représente une intégrale négative ?

Si $f$ f est négative, l'intégrale est l'opposé de l'aire entre la courbe et l'axe. En général, l'intégrale compte positivement les parties au-dessus de l'axe et négativement celles en dessous : c'est une aire algébrique.

Calculez l'aire entre les courbes de

x

x et

x^{2}

x² sur

[0; 1]

[0;1].

$\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ ∫₀¹(x-x²) dx=1/2-1/3=1/6, car $x \geq x^{2}$ x≥ x² sur $[0; 1]$ [0;1].

Pourquoi les rectangles encadrent-ils l'aire ?

Parce que la fonction est croissante : sur chaque bande, la valeur à gauche est la plus petite et la valeur à droite la plus grande. Pour une fonction non monotone, on découpe en intervalles de monotonie.

Quelle est l'erreur de la méthode des rectangles ?

Ici $S_{n} - s_{n} = \frac{1}{n}$ Sₙ-sₙ=1/n : l'erreur est au plus $\frac{1}{n}$ 1/n. Pour une précision de $1 0^{- 3}$ 10⁻³, il faut 1 000 rectangles.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre aire et intégrale quand la fonction change de signe.
Oublier l'unité d'aire (le carré de l'unité des axes).
Présenter le théorème fondamental sans l'idée des rectangles.

Revoir les notions

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