Peut-on calculer π en lançant des points au hasard ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai lu qu'au XVIIIᵉ siècle, Buffon estimait $\pi$π en jetant des aiguilles sur un parquet. L'idée de calculer un nombre aussi précis avec le hasard m'a semblé absurde. En terminale, j'ai programmé une version moderne, la méthode de Monte-Carlo, et j'ai voulu comprendre pourquoi elle marche et pourquoi elle est si lente.

L'enjeu et les notions du programme

Relier une aire, une probabilité et une fréquence : la loi des grands nombres transforme une simulation aléatoire en méthode de calcul.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction : du hasard pour calculer

   1,5 min

   On tire des points au hasard dans le carré $[0;1{]}^2$[0;1]². Problématique : la proportion de points qui tombent dans le quart de disque de rayon 1 permet-elle de calculer $\pi$π, et avec quelle précision ?

2. 2. Une probabilité égale à une aire

   3 min

   Si les points sont uniformément répartis, la probabilité qu'un point tombe dans une région est égale à l'aire de cette région (le carré ayant une aire 1). Le quart de disque $x^2+y^2\le 1$x²+y²≤1 a pour aire $\frac{\pi }{4}$fracπ4, qui est aussi ${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$∫₀¹√(1-x²) dx.

   Chaque point est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\frac{\pi }{4}\approx 0,785$p=fracπ4≈0,785. Sur $N$N points, la fréquence $F_N$F_N de points dans le disque estime $p$p, et $4F_N$4F_N estime $\pi$π.

3. 3. Précision : pourquoi la méthode est lente

   4 min

   $V(F_N)=\frac{p(1-p)}{N}\le \frac{1}{4N}$V(F_N)=(p(1-p))/N≤1/4N. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne $P(|F_N-p|\ge \delta )\le \frac{1}{4N{\delta }^2}$P(|F_N-p|≥δ)≤1/4Nδ².

   Pour estimer $\pi$π à 0,01 près, il faut $F_N$F_N à $0,0025$0,0025 près. Avec une probabilité d'erreur de 5 % : $N\ge \frac{1}{4\times 0,05\times 0,0025^2}=800000$N≥1/4×0,05×0,0025²=800 000 points. Chaque décimale supplémentaire multiplie $N$N par 100.

   C'est la faiblesse de Monte-Carlo pour un problème simple. Mais en grande dimension, où les rectangles demanderaient un nombre astronomique de cases, la vitesse $\frac{1}{\sqrt{N}}$1/( √N ) ne dépend pas de la dimension : c'est là que la méthode devient indispensable.

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   Oui, on peut calculer $\pi$π avec le hasard : une aire devient une probabilité, que la loi des grands nombres permet d'estimer par une fréquence. La méthode est lente (précision en $\frac{1}{\sqrt{N}}$1/( √N )) mais universelle. J'ouvre sur son usage en physique et en finance, où l'on calcule des intégrales à des centaines de dimensions.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Présenter le résultat de la simulation comme exact.
• Oublier l'hypothèse de répartition uniforme.
• Confondre précision sur F et précision sur π (facteur 4).

Revoir les notions

• Concentration et loi des grands nombres (Terminale spé maths) →
• Calcul intégral (Terminale spé maths) →

Autres questions : intégration

• Comment calculer l'aire d'une surface délimitée par une courbe ?
• Comment démontrer que l'aire d'un disque vaut πr² ?
• Que signifie la température moyenne d'une journée, et comment la calculer ?
• Comment calculer une intégrale quand on ne connaît aucune primitive ?

Toutes les questions de maths →