Vérifiez la primitive de $sin((π t)/12)$.

La dérivée de $-frac12πcos((π t)/12)$ est $-frac12π×(-fracπ12)sin((π t)/12)=sin((π t)/12)$.

Question de mathsMathsIntégration

Que signifie la température moyenne d'une journée, et comment la calculer ?

Q: Que dit l'inégalité de la moyenne ?

Si $m≤ f≤ M$ sur $[a;b]$, alors $m≤μ≤ M$ : la moyenne est comprise entre le minimum et le maximum.

Q: Quelle est la vitesse moyenne d'un objet en chute libre pendant 2 s ?

$v(t)=10t$, moyenne $1/2∫₀²10t dt=1/2×20=10$ m/s, soit la distance parcourue (20 m) divisée par la durée.

La valeur moyenne d'une fonction sur [a ; b] est (1/(b − a)) ∫ f : c'est la hauteur du rectangle de même aire. Pour T(t) = 15 + 5 sin(πt/12), la moyenne sur 24 h est 15 °C, mais sur les 12 h de jour environ 18,2 °C.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

La météo annonce des « températures moyennes » sans dire comment elles sont calculées. J'ai d'abord pensé à la moyenne du minimum et du maximum. En terminale, j'ai découvert la valeur moyenne d'une fonction, qui tient compte de toutes les valeurs prises au cours de la journée. J'ai voulu comparer les deux méthodes.

L'enjeu et les notions du programme

Généraliser la moyenne de valeurs discrètes à une grandeur qui varie continûment, grâce à l'intégrale.

Mathématiques

Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle (terminale)
Primitives des fonctions trigonométriques (terminale)
Fonctions sinus et cosinus, périodicité (terminale)
Linéarité de l'intégrale (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : moyenne de quoi ?
1,5 min
Une moyenne de notes est la somme divisée par le nombre de notes. Une température varie continûment. Problématique : comment définir et calculer la moyenne d'une grandeur qui prend une infinité de valeurs ?
2. De la moyenne discrète à l'intégrale
3 min
On relève la température $T$ T toutes les $h$ h heures, soit $\frac{24}{h}$ 24/h relevés : leur moyenne vaut $\frac{h}{24} \sum T (t_{k}) = \frac{1}{24} \sum T (t_{k}) \times h$ h/24Σ T(tₖ)=1/24Σ T(tₖ)× h. On reconnaît une somme de rectangles de largeur $h$ h : quand les relevés deviennent de plus en plus fréquents, elle tend vers $\frac{1}{24} \int_{0}^{24} T (t) d t$ 1/24∫₀²⁴T(t) dt.
Définition : la valeur moyenne de $f$ f sur $[a; b]$ [a;b] est $μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (t) d t$ μ=1/(b-a)∫ₐ^(b)f(t) dt. Géométriquement, c'est la hauteur du rectangle de base $[a; b]$ [a;b] qui a la même aire que la surface sous la courbe.
3. Calcul sur un modèle
4 min
Modèle : $T (t) = 15 + 5 sin (\frac{π t}{12})$ T(t)=15+5sin((π t)/12), $t$ t en heures, $t = 0$ t=0 à 6 h du matin. Une primitive de $sin (\frac{π t}{12})$ sin((π t)/12) est $- \frac{12}{π} cos (\frac{π t}{12})$ -frac12πcos((π t)/12).
Sur 24 h : $\int_{0}^{24} sin (\frac{π t}{12}) d t = - \frac{12}{π} (cos 2 π - cos 0) = 0$ ∫₀²⁴sin((π t)/12)dt=-frac12π(cos2π-cos0)=0, donc la moyenne vaut $15$ 15 °C. Ici, elle coïncide avec la moyenne du minimum (10 °C) et du maximum (20 °C), car la courbe est symétrique.
Sur les 12 heures de jour : $\int_{0}^{12} sin (\frac{π t}{12}) d t = \frac{24}{π}$ ∫₀¹²sin((π t)/12)dt=frac24π, d'où $μ = 15 + \frac{5}{12} \times \frac{24}{π} = 15 + \frac{10}{π} \approx 18, 2$ μ=15+5/12×frac24π=15+frac10π≈18,2 °C.
4. Conclusion
1,5 min
La température moyenne d'une journée est la valeur moyenne de la fonction température, définie par une intégrale. Elle coïncide avec la moyenne du minimum et du maximum seulement pour des variations symétriques. J'ouvre sur les relevés réels, où l'on utilise la méthode des rectangles à partir de mesures horaires.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (t) d t μ=1/(b-a)\intₐ^(b)f(t) dt \int_{0}^{24} sin (\frac{π t}{12}) d t = - \frac{12}{π} [cos (\frac{π t}{12})]_{0}^{24} = 0 \Rightarrow μ = 15^{\circ} C \int₀²⁴sin ((π t)/12)dt=-12/πBigl[cos ((π t)/12)Bigr]₀²⁴=0 \Rightarrow μ=15 ° C de jour : μ = 15 + \frac{5}{12} \times \frac{24}{π} = 15 + \frac{10}{π} \approx 18, 2^{\circ} C de jour : μ=15+5/12\times24/π=15+10/π\approx18,2 ° C

Conclusion : la réponse à la question

La moyenne d'une grandeur continue est l'intégrale divisée par la durée : c'est la limite des moyennes de relevés de plus en plus fréquents. Le calcul sur un modèle sinusoïdal montre que cette moyenne dépend de l'intervalle choisi et ne se réduit pas toujours à la moyenne des extrêmes.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Donnez un exemple où la moyenne des extrêmes est trompeuse.

Si la température reste à 10 °C pendant 20 h et monte à 30 °C pendant 4 h, la moyenne des extrêmes vaut 20 °C, mais la vraie moyenne vaut $\frac{20 \times 10 + 4 \times 30}{24} \approx 13, 3$ (20×10+4×30)/24≈13,3 °C.

Vérifiez la primitive de

sin (\frac{π t}{12})

sin((π t)/12).

La dérivée de $- \frac{12}{π} cos (\frac{π t}{12})$ -frac12πcos((π t)/12) est $- \frac{12}{π} \times (- \frac{π}{12}) sin (\frac{π t}{12}) = sin (\frac{π t}{12})$ -frac12π×(-fracπ12)sin((π t)/12)=sin((π t)/12).

Que dit l'inégalité de la moyenne ?

Si $m \leq f \leq M$ m≤ f≤ M sur $[a; b]$ [a;b], alors $m \leq μ \leq M$ m≤μ≤ M : la moyenne est comprise entre le minimum et le maximum.

Quelle est la vitesse moyenne d'un objet en chute libre pendant 2 s ?

$v (t) = 10 t$ v(t)=10t, moyenne $\frac{1}{2} \int_{0}^{2} 10 t d t = \frac{1}{2} \times 20 = 10$ 1/2∫₀²10t dt=1/2×20=10 m/s, soit la distance parcourue (20 m) divisée par la durée.

La valeur moyenne est-elle toujours atteinte ?

Pour une fonction continue, oui : par le théorème des valeurs intermédiaires, puisqu'elle est comprise entre le minimum et le maximum de la fonction.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier de diviser l'intégrale par la longueur de l'intervalle.
Confondre valeur moyenne et moyenne des valeurs extrêmes.
Se tromper de facteur dans la primitive de sin(at).

Revoir les notions

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