Question de mathsMathsIntégration

Comment calculer une intégrale quand on ne connaît aucune primitive ?

Q: Pourquoi f est-elle décroissante sur [0 ; 1] ?

$f'(x)=-2xe^(-x²)≤0$ pour $x≥0$.

Q: Combien de rectangles pour une précision de 10⁻³ ?

Il faut $(1-e⁻¹)/n≤10⁻³$, soit $n≥632$ environ.

Q: Pourquoi l'écart entre les deux sommes vaut-il (f(0) − f(1))/n ?

Les deux sommes ont les mêmes termes sauf un : $gₙ$ contient $f(0)$ et pas $f(1)$, $dₙ$ l'inverse. Leur différence vaut donc $(f(0)-f(1))/n$ : c'est un télescopage.

La fonction e^{−x²} n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles ; les méthodes des rectangles et des trapèzes donnent pourtant ∫₀¹ e^{−x²} dx ≈ 0,7468 avec une précision contrôlée.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En terminale, j'ai demandé à mon professeur une primitive de $e^{- x^{2}}$ e^(-x²), qui apparaît partout en statistiques. Il m'a répondu qu'il n'en existe aucune « avec les fonctions usuelles ». J'ai voulu comprendre comment on calcule alors son intégrale, et j'ai découvert les méthodes numériques.

L'enjeu et les notions du programme

Approcher une intégrale par des sommes, encadrer l'erreur et programmer la méthode : le lien entre analyse et algorithmique.

Mathématiques

Intégrale et encadrement par la méthode des rectangles (terminale)
Monotonie et encadrement d'une intégrale (terminale)
Algorithmique : boucles et sommes en Python (terminale)
Fonction exponentielle et composée $e^{u}$ e^(u) (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : une intégrale sans primitive
1,5 min
La fonction $f (x) = e^{- x^{2}}$ f(x)=e^(-x²) est continue, donc elle a des primitives ; mais aucune ne s'écrit avec les fonctions usuelles. Problématique : comment calculer $\int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x$ ∫₀¹e^(-x²)dx avec une précision connue ?
2. Rectangles : un encadrement
3,5 min
$f$ f est décroissante sur $[0; 1]$ [0;1]. En découpant en $n$ n bandes de largeur $\frac{1}{n}$ 1/n, les rectangles à droite sont sous la courbe, ceux à gauche au-dessus : $d_{n} \leq I \leq g_{n}$ dₙ≤ I≤ gₙ.
Pour $n = 10$ n=10 : $0, 7146 \leq I \leq 0, 7778$ 0,7146≤ I≤0,7778. L'écart vaut $g_{n} - d_{n} = \frac{f ( 0 ) - f ( 1 )}{n} = \frac{1 - e ^{- 1}}{n}$ gₙ-dₙ=(f(0)-f(1))/n=(1-e⁻¹)/n : il diminue comme $\frac{1}{n}$ 1/n. Pour une précision de $1 0^{- 3}$ 10⁻³, il faudrait environ 630 rectangles.
3. Trapèzes : beaucoup plus précis
3,5 min
La méthode des trapèzes fait la moyenne des deux sommes : $t_{n} = \frac{g _{n} + d _{n}}{2}$ tₙ=(gₙ+dₙ)/2. On remplace la courbe par une ligne brisée.
Pour $n = 10$ n=10 : $t_{10} \approx 0, 7462$ t₁₀≈0,7462 ; pour $n = 100$ n=100 : $t_{100} \approx 0, 74682$ t₁₀₀≈0,74682. La valeur exacte est $0, 746824 \dots$ 0,746 824… L'erreur des trapèzes diminue comme $\frac{1}{n ^{2}}$ 1/n² : dix fois plus de points donnent cent fois plus de précision. En Python, une boucle de quelques lignes suffit.
4. Conclusion
1,5 min
Sans primitive, on calcule une intégrale par des sommes de rectangles ou de trapèzes, avec un encadrement qui garantit la précision. C'est ainsi que les calculatrices et les logiciels intègrent. J'ouvre sur la méthode de Monte-Carlo, qui calcule une intégrale avec le hasard, utile en grande dimension.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

d_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n f (\frac{k}{n}) \leq \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x \leq g_{n} = \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 f (\frac{k}{n}) dₙ=1/nΣ_k=1ⁿf (k/n) \leq \int₀¹e^(-x²)dx \leq gₙ=1/nΣ_k=0ⁿ⁻¹f (k/n) g_{n} - d_{n} = \frac{1 - e ^{- 1}}{n} n = 10 : 0, 7146 \leq I \leq 0, 7778, t_{10} \approx 0, 7462 gₙ-dₙ=(1-e⁻¹)/n n=10 : 0,7146\leq I\leq0,7778, t₁₀\approx0,7462

Conclusion : la réponse à la question

Une intégrale sans primitive se calcule numériquement : les rectangles fournissent un encadrement certain, les trapèzes une approximation bien plus rapide. La valeur $\int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x \approx 0, 7468$ ∫₀¹e^(-x²)dx≈0,7468 est ainsi connue avec autant de décimales qu'on le souhaite.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi f est-elle décroissante sur [0 ; 1] ?

$f^{'} (x) = - 2 x e^{- x^{2}} \leq 0$ f'(x)=-2xe^(-x²)≤0 pour $x \geq 0$ x≥0.

Écrivez l'algorithme des rectangles à gauche.

s = 0 ; pour k allant de 0 à n − 1 : s = s + exp(−(k/n)²) ; puis on renvoie s/n.

Combien de rectangles pour une précision de 10⁻³ ?

Il faut $\frac{1 - e ^{- 1}}{n} \leq 1 0^{- 3}$ (1-e⁻¹)/n≤10⁻³, soit $n \geq 632$ n≥632 environ.

Pourquoi les trapèzes sont-ils plus précis ?

Les erreurs des rectangles à gauche et à droite sont de signes opposés et presque égales : leur moyenne les compense en grande partie. Il reste une erreur liée à la courbure de la fonction.

Où rencontre-t-on cette fonction ?

Dans la loi normale, ou courbe en cloche, qui décrit la répartition de nombreuses mesures ; son aire totale vaut $π$ √π, un résultat surprenant démontré en études supérieures.

Comment présenter la méthode à un jury non spécialiste ?

Avec un dessin au tableau : la courbe, quatre rectangles sous la courbe et quatre au-dessus. J'explique que l'aire cherchée est coincée entre les deux sommes, puis que l'écart diminue quand on affine le découpage. Le jury voit ainsi pourquoi la valeur obtenue est sûre, et pas seulement approchée au hasard.

Pourquoi l'écart entre les deux sommes vaut-il (f(0) − f(1))/n ?

Les deux sommes ont les mêmes termes sauf un : $g_{n}$ gₙ contient $f (0)$ f(0) et pas $f (1)$ f(1), $d_{n}$ dₙ l'inverse. Leur différence vaut donc $\frac{f ( 0 ) - f ( 1 )}{n}$ (f(0)-f(1))/n : c'est un télescopage.

Les pièges qui coûtent des points

Dire qu'une fonction continue n'a pas de primitive : elle en a, mais pas d'expression usuelle.
Inverser les rôles des rectangles à gauche et à droite pour une fonction décroissante.
Annoncer une valeur approchée sans précision.

Revoir les notions

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